5. Los logaritmos en escena

El truco más sorprendente de cuantos han sido presentados ante el público por calculadores profesionales es, sin duda, el siguiente:

Enterado por las carteleras de que un notable calculador se disponía a extraer de memoria las raíces de elevados índices de números muy grandes, prepara usted en casa, pacientemente, la 31ª potencia de un número cualquiera y se dispone a hacer fracasar al calculista con su gran número de 35 cifras. En el momento oportuno se dirige al calculador con las siguientes palabras:

- Eso está bien, ¡pero pruebe a extraer la raíz, cuyo índice es 31, del siguiente número de 35 cifras! Tome nota, se las voy a dictar.

El calculador toma la tiza, pero antes de que pronuncie usted la primera cifra, él ya ha encontrado el resultado: 13.

El calculador sin saber el número, ha extraído su raíz, siendo, además, de grado 31; lo ha hecho de memoria y, por añadidura, ¡con rapidez de relámpago!…

Usted se maravilla y descorazona, aunque no ha sucedido nada extraordinario. El secreto reside en que no existe más que un número, precisamente el 13, que elevado a una potencia cuyo exponente sea 31, dé un resultado de 35 cifras. Los números menores a 13 dan menos de 35 cifras, y los mayores, más. ¿De dónde sabía eso el calculador? ¿Cómo halló la cifra 13? Se sirvió de los logaritmos, de logaritmos con dos cifras de mantisa, que recuerda de memoria, para los primeros 15 ó 20 números. Aprendérselos no es tan difícil como parece, sobre todo si se tiene en cuenta que el logaritmo de un número compuesto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores primos. Recordando bien los logaritmos de 2, 3 y 7 se conocen ya los logaritmos correspondientes a los 10 primeros números; para saber los de la 2ª decena (del 10 al 20) hay que acordarse de los logaritmos de otros cuatro números.

A cualquier calculador profesional le es fácil conservar en la memoria la siguiente tabla de logaritmos de dos cifras:

El truco matemático que los ha llenado de asombro consiste en lo siguiente:

El logaritmo buscado puede encontrarse entre:

34/31 y 34,99/31 o entre 1,09 y 1,13.

En este intervalo sólo se encuentra el logaritmo de un número entero 1,11, que es el logaritmo de 13. De esa manera es como se halla el resultado que los ha dejado perplejos.

Claro que para hacer todo esto mental y rápidamente hay que disponer del ingenio y la destreza de un profesional, pero en esencia, la cuestión es bastante sencilla. Cualquiera puede realizar trucos análogos, si no de memoria, al menos, por escrito.

Supongamos que le proponen resolver el siguiente problema: extraer la raíz de índice 64 de un número de 20 cifras.

Sin indagar de qué número se trata puede usted ofrecer el resultado: la raíz es igual a 2.

En efecto:

por lo tanto debe estar comprendido entre 19/64 y 19,99/64, es decir, entre 0,29 y 0,32.

Tal logaritmo para número entero no puede ser más que uno: 0,30… o sea, el logaritmo del número 2.

Usted podría desconcertar definitivamente al que le planteara el problema, anticipándole el número que él se disponía a dictarle: el famoso número del «ajedrez»

2⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616.