10. Legados a largo plazo

¿Quién no ha oído hablar del consabido número de granos de trigo que, según las leyendas, pidió como recompensa el inventor del ajedrez? Esta cantidad se forma duplicando sucesivamente cada uno de los números obtenidos; primer escaque del tablero, el inventor pidió un grano; para el segundo, dos; etc. A cada uno de los escaques le corresponde el doble que al anterior, hasta llegar al 64 escaque.

Mas crecimiento tan vertiginoso se da, no sólo duplicando sin cesar la cifra anterior, sino con una norma de crecimiento notablemente más moderada. Un capital que produce el 5% anual a interés compuesto, aumenta cada año 1,05 veces. Parece éste un crecimiento de poca consideración, más al cabo de cierto tiempo el capital llega a alcanzar grandes proporciones.

Esto explica que después de transcurridos muchos años de ser legada una herencia crezca de forma insólita. Parece extraño que dejando el finado una suma harto modesta se convierta ésta en un enorme capital. Es bien conocido el testamento de Franklin, famoso estadista norteamericano. Fue publicado en Recopilación de diversas obras de Benjamín Franklin. He aquí un fragmento de él: “Dono mil libras esterlinas a los habitantes de Boston.

Si las aceptan, estas mil libras, deben ser administradas por los vecinos más distinguidos de la ciudad, que las concederán en préstamo al 5%, a los artesanos jóvenes. Al cabo de cien años esta suma se elevará a 131.000 libras esterlinas. Deseo que entonces sean empleadas, 100.000 libras en la construcción de edificios públicos, y las 31.000 restantes concedidas en crédito por un plazo de 100 años. Al cabo de este tiempo la suma habrá llegado a 4.061.000 libras esterlinas, de las cuales 1.060.000 dejo a disposición de los vecinos de Boston y 3.000.000, al municipio de Massachusetts. En lo sucesivo no me atrevo a seguir extendiéndome con más disposiciones”.

Franklin, que dejó una herencia de 1.000 libras, distribuyó millones de ellas. Y no se trata de ningún malentendido. El cálculo matemático confirma que las disposiciones del testador son ciertas. Las 1.000 libras aumentaron cada año en 1,05 veces y, al cabo de 100 años se convirtieron en

x = 1.000 * 1,05¹⁰⁰ libras.

Esta expresión puede calcularse mediante los logaritmos:

log x = log 1.000 + 100 log 1,05 = 5,11893,

de donde

x= 131.000

de acuerdo con el testamento. En el segundo siglo las 31.000 llegarán a

y = 31 000·1,05¹⁰⁰,

de donde, al aplicar los logaritmos resultará:

y = 4.076.500

suma que se diferencia muy poco de la señalada en el testamento.

Dejemos a juicio del lector fa solución del siguiente problema, que aparece en la obra Los señores Golovliov, de Saltikov-Schedrín:

“Porfiri Vladimirovich está en su despacho escribiendo cantidades en hojas de papel. Trata de saber cuánto dinero tendría si los cien rublos que le regaló su abuelo al nacer, en lugar de ser gastados por su madre, hubieran sido depositados en la caja de Ahorros. Sin embargo, el resultado no es muy elevado: ochocientos rublos”.

Si suponemos que Porfiri tiene a la sazón 50 años y, admitiendo que hubiera hecho bien el cálculo (poco probable, pues sin duda alguna desconocía los logaritmos, por lo que no podría resolver problemas de interés compuesto) hay que establecer qué tanto por ciento concedía en aquellos tiempos la Caja de Ahorros.