3. ¿Cómo trazar la carretera al embarcadero?

Desde la ciudad ribereña A hay que trasladar cargamento al punto B, situado a a km más abajo, y a d km de la orilla del río (fig. 22).

¿Cómo debe trazarse la carretera desde B al río para que el transporte de cargas desde A hasta B resulte lo más barato posible, considerando que el transporte de una tonelada-kilómetro por río cuesta la mitad que por carretera?

Figura 22

Expresaremos la distancia AD con la x, y la longitud de la carretera DB con la y. Como hemos supuesto, la longitud AC = a, y la BC = d. Puesto que el transporte por carretera cuesta el doble que por río, la suma x + 2y debe ser, respondiendo a las exigencias del problema, la más pequeña. Expresémosla con la m. De aquí la ecuación

x + 2y = m.

Pero

x = a - DC

y

entonces la ecuación se presentará así:

y, al hacer desaparecer el radical, resulta:

3y² - 4 (m - a) y + (m - a)² + d² = 0.

Resolvamos ahora la ecuación:

Para qué y responda a las condiciones, (m - a)² no debe ser inferior a 3d². La magnitud más pequeña de (m - a)² es igual a 3d² y entonces:

es decir,

Mas el ángulo cuyo seno es igual a equivale a 60°. Esto significa que la carretera debe ser trazada formando un ángulo de 60° con el río, independiente de la distancia AC.

Aquí vuelve a aparecer la misma particularidad que en el problema anterior. El resultado tiene sentido sólo en determinadas condiciones. Si el punto poblado está situado de tal manera que la carretera (cuya línea forma un ángulo de 60° con la del río) pasa por el lado opuesto de la ciudad A, entonces la solución dada es inaplicable; en este caso hay que unir directamente el punto B con la ciudad A por carretera sin emplear en absoluto el río para el transporte.