4. Previsión de las ecuaciones

En los casos examinados y en dependencia de las condiciones del problema, hemos hecho diferente uso de las dos raíces obtenidas. En el primer caso hemos desechado la raíz negativa por no responder al contenido del problema; en el segundo, hemos renunciado a la raíz fraccionaría y negativa y, en el tercero, por el contrario, hemos aceptado las dos raíces.

La presencia de una segunda solución es, a veces, completamente inesperada no sólo para quien resuelve el problema, sino también para su autor; pongamos un ejemplo de cómo la ecuación resulta más previsora que el mismo que la establece.

Una pelota ha sido lanzada al aire a una velocidad de 25 m por segundo. ¿Al cabo de cuántos segundos se encontrará la pelota a 20 m de altura?

Para los cuerpos lanzados al alto, y libres en su ascensión de toda resistencia, la mecánica establece las siguientes proporciones entre la altura a la que sube el cuerpo sobre la tierra (h), su velocidad inicial (v), el aceleramiento de la fuerza de gravedad (g) y el tiempo (t):

En este ejemplo concreto podemos hacer caso omiso de la resistencia del aire, por cuanto es muy pequeña cuando la velocidad no es de consideración. A fin de simplificar la operación, demos a g, el valor 10 m, en lugar de 9,8 m (el error es tan sólo del 2%). Sustituyendo h, v, g por sus valores en la fórmula indicada, tendremos la siguiente ecuación:

20 = 25 t - 10 t² / 2

y después de quitar denominadores y simplificar

t² - 5 t + 4 = 0.

Resultan las raíces t₁ =1 y t₂ = 4.

La pelota estará dos veces a la altura de 20 m: al primer segundo y después de cuatro segundos de haber sido lanzada.

Acaso parezca inverosímil y, al no reflexionar, puede rechazarse el segundo resultado. Sin embargo, esto sería erróneo. El segundo resultado es completamente lógico: la pelota puede encontrarse dos veces a la altura de 20 m: una, al ascender, y otra, al descender.

Se deduce con facilidad que la pelota puede ascender durante 2,5 segundos con la velocidad inicial de 25 m, llegando a una altura de 31,25 m. Después de alcanzar la altura de 20 m, (al segundo de ascenso) la pelota seguirá elevándose durante 1,5 segundos más, al cabo de lo cual descenderá durante 1,5 segundos hasta la altura de 20 m, llegando al suelo un segundo después.