5. Compensación

En tiempos remotos ocurrió el siguiente hecho. Dos mercaderes vendieron una partida de toros, recibiendo por cada animal tantos rublos como toros había en la partida. Con el dinero recibido compraron un rebaño de ovejas, pagando 10 rublos por cada oveja, y un corderito.

Al repartirse el rebaño en dos mitades, uno recibió una oveja más, y otro, el corderito. El que recibió éste fue compensado por su socio con una suma complementaria correspondiente. Siendo dicho pago complementario una cantidad entera de rublos, ¿de cuántos rublos constará?

Este problema no se presta a la traducción directa al “idioma algebraico”, pues no puede construirse la ecuación necesaria. Es preciso resolverlo mediante un procedimiento especial, el llamado razonamiento matemático libre. Más también aquí el álgebra presta a la aritmética una buena ayuda. El valor en rublos de todo el rebaño es un cuadrado exacto, por cuanto dicho rebaño ha sido adquirido con el dinero recibido por la venta de n toros, a n rublos por cabeza. Uno de los socios recibió una oveja más, por lo tanto, el número de ovejas es impar. También es impar, por lo mismo, el número de decenas en la cantidad n².

¿Cuál es la cifra de las unidades? Podemos demostrar que si en un cuadrado exacto, la cifra de las decenas es impar, la de las unidades debe ser sólo 6.

Efectivamente. El cuadrado de todo número compuesto de a decenas y b unidades, es decir, (10a + b)², será igual a

100a² + 20ab + b² = 10· (10a² + 2ab) + b²

El número de decenas en esta cantidad es 10a² + 2ab más algunas decenas comprendidas en b². Pero 10a² + 2ab es divisible por dos, luego es un número par. Por eso, el número de decenas comprendidas en (10a + b)² resultará impar sólo cuando en el número b² haya un número impar de decenas. Recordemos lo que representa b². Este número es el cuadrado de la cifra de las unidades, es decir, una de las cifras siguientes:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81

Entre ellas, sólo 16 y 36, tienen decenas impares, y ambos terminan en 6. Esto quiere decir que el cuadrado exacto

100a² + 20ab + b²

puede tener un número impar de decenas sólo en el caso en que termine en 6. Ahora es ya fácil hallar la respuesta a la pregunta formulada en el problema.

Es evidente que el corderito costó 6 rublos. El socio a quien correspondió éste, recibió 4 rublos menos que el compañero. Para que el reparto sea equitativo, el poseedor del cordero debe ser compensado por su socio con 2 rublos. La compensación es igual a 2 rublos.