4. ¿Cuándo alcanza el producto su máximo valor?

Para resolver muchos problemas relacionados con “el máximo y el mínimo”, es decir, para buscar el valor mayor y el menor de una magnitud variable, puede emplearse un teorema algebraico que examinaremos a continuación. Veamos el problema siguiente:

Si se divide un número en dos partes ¿En qué partes debe dividirse éste para que su producto alcance el máximo valor?

Supongamos que el número dado sea a. Las partes en que se divide a son:

El número x indica la diferencia de estas partes con la mitad de a. El producto de ellas es igual a:

Es evidente que el producto de las partes tomadas aumentará en la medida en que disminuya x, es decir, en la medida en que disminuya la diferencia entre las mismas. El resultado mayor será cuando x = 0, es decir, cuando ambas partes sean iguales a a/2

Quedarnos, pues, en que el número debe dividirse por la mitad. El producto de dos números, cuya suma sea constante alcanzará su máximo valor cuando estos números sean iguales entre sí.

Examinemos este mismo ejemplo con tres números.

Si se divide un número en tres partes ¿En qué partes debe dividirse éste para que su producto alcance el máximo valor?

Para resolver este problema nos apoyaremos en el anterior.

Tomemos un número a dividido en tres partes. Supongamos previamente que ninguna de las tres partes es igual a a/3. Entre ellas habrá una parte mayor que a/3 (las tres no pueden ser menores que a/3). Dicha parte la expresaremos así:

(a /3) + x

También habrá otra parte menor que a/3 que representaremos con:

(a /3) - y

Los números x e y son positivos. La parte tercera será indudable-mente igual a:

(a /3) + y - x

Los números (a/3) y (a/3) + x - y representan una suma igual a la de las dos primeras partes del número a, pero la diferencia entre ellas (es decir, x - y) es menor que la diferencia entre las dos primeras partes, que era equivalente a x + y. Como hemos visto en el problema anterior, el producto de

es mayor que el producto de las dos primeras partes del número a.

De esta forma, si las dos primeras partes del número a son sustituidas por los números

(a/3) y (a/3) + x - y

dejando la tercera intacta, el producto aumentará.

Supongamos ahora que una de las partes es igual a a/3. Entonces las otras dos partes se presentarán así

a /3 + z y a/3 - z

Si hacemos que estas dos partes sean iguales a a/3 (cuya suma, por ello, no se altera), veremos que su producto aumenta, siendo igual a:

Así pues, si el número a se divide en tres partes desiguales, el producto de éstas será menor que a³/27 es decir, menor que el producto de tres factores iguales que sumen a.

Por el mismo procedimiento puede demostrarse este teorema para cuatro factores, para cinco, etc.

Examinemos ahora un caso más general.

Hállese el valor de x y de y para que la expresión xp·yq alcance la mayor magnitud si x + y = a.

Busquemos el valor de x mediante el cual la expresión

x^p · (a - x)^q

alcance su máxima magnitud.

Multipliquemos esta expresión por 1/x^p · y^qy obtendremos la siguiente:

que alcanzará su máxima magnitud cuando la adquiera la expresión inicial.

Representemos así a la expresión obtenida:

La suma de todos los factores será igual a:

es decir, será una magnitud constante.

Si nos basamos en lo demostrado anteriormente deduciremos que el producto:

alcanza el máximo valor al ser iguales sus factores, es decir, cuando

Sabemos que a - x = y; sustituyendo el antecedente de la segunda razón y alterando el orden de los medios, resultará

x / y = p / q

De esta forma, el producto de xp*yq alcanza su máximo valor, si la suma x + y es constante, cuando

x: y = p: q

Siguiendo semejante razonamiento puede demostrarse que los productos

x ^p ·y ^q · z ^r, x ^p · y ^q * z ^r · t ^u, etc.

llegan a su valor máximo, si las sumas x + y + z, x + y + z + t, etc. son constantes, cuando:

x: y: z = p: q: r, x: y: z: t = p: q: r: u, etc.