8. Divisibilidad por 19

Ocupémonos del siguiente criterio de divisibilidad por 19.

Un número es múltiplo de 19 sólo en el caso en que sus decenas más el doble de sus unidades forme un múltiplo de 19.

Todo número N puede ser presentado como

N = 10 x + y

donde x es el número de decenas (no la cifra que ocupa las decenas, sino la cantidad de decenas del número); y es la cifra de las unidades. Tenemos que demostrar que N es múltiplo de 19 tan sólo cuando

N' = x + 2y

es múltiplo de 19. Para esto multipliquemos N' por 10, y del producto restemos N de donde

10N' - N = 10 x (x + 2y) - (10 x + y) - 19y

Con esto se demuestra que si N' es múltiplo de 19, entonces, N = 10N' - 19y se dividirá exactamente por 19 y al contrario, si N se divide por 19, entonces

10N' = N + 19y

será múltiplo de 19, y en ese caso también N' será múltiplo de 19. Supongamos que se precisa saber si el número 47.045.881 se divide por 19. Apliquemos sucesivamente nuestro criterio de divisibilidad

Figura 01

Como 19 se divide exactamente por 19, los números 57, 475, 4.712, 47.063, 470.459, 4.704.590, 47.045.881 son múltiplos de 19. Por lo tanto, también se divide el número propuesto por 19.