1. Dos trenes

Dos líneas férreas se cruzan formando un ángulo recto. Los trenes se acercan a gran velocidad hacia el cruce. Uno parte de cierta estación situada a 40 km del cruce; el otro, de una estación que dista 50 km del cruce. El primero marcha a una velocidad de 800 m por minuto, el segundo a 600 m ¿Cuántos minutos transcurrirán desde el momento de la partida para que las locomotoras se hallen a la menor distancia entre sí, y cuál será esa distancia?

Dibujemos el esquema de la marcha de los trenes. Supongamos que las líneas rectas AB y CD son dos líneas férreas que se cruzan (fig. 19) La estación B se encuentra a 40 km del cruce O, y la estación, D a 50 km. Admitamos que al cabo de x minutos los trenes se encuentran a la distancia más próxima entre sí: (MN = m). El tren que sale de B hace el recorrido BM = 0,8 x, ya que en un minuto recorre 800 m = 0,8 km. Por consiguiente, OM = 40 - 0,8 x. Del mismo modo hallaremos que ON = 50 - 0,6 x. Según el teorema de Pitágoras:

Elevemos al cuadrado ambas partes de la ecuación

Figura 19

y operando tendremos

x² - 124 + 4100 - m² = 0

Resolviendo la ecuación para hallar el valor de x, resultará

Ya que x, el número que expresa los minutos transcurridos, no puede ser una raíz imaginaria, entonces m² - 256 debe ser una magnitud positiva o, a lo sumo, equivalente a cero. El último es el que corresponde al valor mínimo de m; de aquí que:

m² = 256, o sea, m = 16.

Es evidente que m no puede ser menor que 16, de lo contrario x se convertiría en una raíz imaginaria. Y si m² - 256 = 0, entonces x = 62.

De esta forma las locomotoras llegan a su punto de mayor aproximación al cabo de 62 minutos, y la distancia que las separa será de 16 km. Determinemos dónde se encontrará cada una en el momento de mayor aproximación. Al buscar la distancia OM, tendremos que es igual a

40 - 62 * 0,8 = -9,6.

El signo negativo indica que la primera locomotora habrá rebasado el cruce en 9,6 km. La distancia ON será:

50 - 62 * 0,6 = 12,8.

Es decir, que a la segunda locomotora le faltarán 12,8 km para llegar al cruce. En la fig. 20 se ve la posición que ocupan las locomotoras en el momento dado. Se puede apreciar que ésta no es tal y como nos la imaginábamos al principio.

Figura 20

La ecuación ha resultado ser tan tolerante que, a pesar de lo erróneo del esquema, nos da un resultado acertado. No es difícil averiguar de dónde proviene esa tolerancia, que está condicionada por las reglas algebraicas de los signos.