11. El canalón de sección máxima

Hemos de doblar en forma de canalón una hoja de lámina rectangular (fig. 27).

Figura 27

Su sección debe tener forma de trapecio isósceles, lo que puede conseguirse por diversos procedimientos, según se indica en la fig. 28.

Figura 28

¿Cuál ha de ser la anchura de los costados y qué ángulo deben formar para que la sección del canalón tenga la máxima superficie? (fig. 29).

Figura 29

Representemos por l la anchura de la hoja; por x, la de los costados doblados, y por y la del fondo del canalón. Introduzcamos una medida más, la incógnita z, cuyo valor aparece con toda claridad en la fig. 30.

Figura 30

La superficie del trapecio que representa la sección del canalón será:

La tarea consiste en determinar cuáles han de ser los valores de x, y, z para que S alcance la mayor magnitud admitiendo que la suma 2x + y (anchura de la hoja) es una constante l.

Pasemos a las transformaciones:

S² alcanzará su máxima magnitud con los valores de x, y y z que la proporcionen también a 3S².

3S² puede presentarse en forma de producto

(y + z) (y + z) (x + z) (3 x - 3 z).

La suma de estos factores será:

y + z + y + z + x + z + 3 x - 3 z = 2 y + 4 x = 2l,

es decir, es invariable. Por eso, el producto de nuestros cuatro factores llega al máximo cuando éstos son iguales entre sí, es decir:

y + z = x + z

x + z = 3 x - 3 z.

Por la primera ecuación sabemos que:

y = x

y como.

y + 2 x = l

entonces

x = y = l / 3

De la segunda ecuación, resulta

z = x /2 = l / 6

Como el cateto z es igual a la mitad de la hipotenusa x (fig. 30), el ángulo opuesto a este cateto será igual a 30°, y el ángulo de inclinación de los costados equivaldrá a 90° + 30° =120°.

En fin, el canalón alcanzará la mayor sección cuando sus dobleces tengan la forma de 3 lados contiguos de un hexágono regular.