16. Con tres cifras iguales

Procuremos profundizar en este intrigante fenómeno y aclarar por qué, cuando con las cifras se establece una potencia de potencia, unas veces se obtienen números enormemente altos y otras, no. Examinemos el caso general. Obténgase el número más elevado posible dado por tres cifras iguales prescindiendo de todo signo.

Representemos la cifra con la letra a. A la distribución 2²², 3³³, 4⁴⁴ corresponde la expresión

a^{(10a + a)} = a^11a

La potencia de potencia, en su aspecto general, se presenta así:

Determinemos cuál ha de ser el valor de a para que la última variante sea de mayor magnitud que la primera. Como quiera que ambas potencias tienen idéntica base entera, a mayor exponente corresponderá mayor valor. ¿En qué caso a^a› 11a?

Dividamos ambos miembros de la desigualdad por a, y tendremos

a^a-1 › 11.

Es fácil determinar que a^a-1 es mayor que 11 sólo en el caso en que a sea mayor que 3, puesto que

4^4-1› 11

en tanto que las potencias

3² y 2¹

son menores que 11.

Quedan, pues, explicadas las sorpresas con que hemos tropezado al resolver los problemas precedentes: para los doses y los treses había que servirse de potencias con exponentes de dos cifras, para los cuatros y cifras mayores tiene que emplearse la potencia de potencia