7. Dos parcelas de tierra

¿Qué forma ha de tener una parcela rectangular de un área dada, para que la longitud de su cerca sea la menor posible?

¿Qué forma debe tener una parcela rectangular para que, con una longitud fija de su cercado, tenga aquélla la mayor área posible?

a. La forma de la parcela rectangular se determina por la relación entre sus lados, x e y. El área de una parcela cuyos lados sean x e y es igual a xy, y la longitud de la cerca 2x + 2y.

Esta última será la menor si x + y tiene el menor valor. Si el producto xy es constante, la suma x + y es la menor si x = y. Por lo tanto, el rectángulo que buscamos debe ser un cuadrado.

b. Si x e y son los lados de una parcela rectangular, la longitud de su cerca será 2x + 2y, y su área, xy. Este producto es el mayor cuando lo es también el producto 4xy, o sea, 2x·2y; este último alcanza su máximo valor (si la suma de sus factores 2x + 2y es constante) cuando 2x = 2y, es decir, si la parcela es un cuadrado.

A las propiedades del cuadrado, conocidas por la geometría podemos agregar una más: El cuadrado es, entre los rectángulos, el que con un área dada tiene menor perímetro; y con un perímetro dado, mayor área.