7. Dos números y cuatro operaciones

El problema anterior, resuelto mediante un sistema de tres ecuaciones con cinco incógnitas, no se ha desarrollado por los procedimientos ordinarios, sino por un razonamiento matemático libre. De esta misma forma resolveremos los siguientes problemas, y se reducen a ecuaciones indeterminadas de segundo grado.

He aquí el primero de ellos.

Con dos números enteros y positivos fueron realizadas las cuatro operaciones siguientes:

los sumaron

restaron el menor del mayor,

los multiplicaron

dividieron el mayor por el menor.

La suma de los resultados obtenidos fue 243. Hállense esos dos números.

Si el número mayor es x, y el menor y,

(x + y) + (x - y) + xy + x/y = 243

Si se multiplica esta ecuación por y, se abren los paréntesis y se reducen los términos semejantes, tendremos:

x(2y + y² + 1) = 243y

Pero

2y + y² + 1 = (y + 1)²

Por eso

Para que el número x sea entero, es preciso que el denominador (y + 1)² sea uno de los divisores de 243 (por cuanto y no puede tener factores comunes con y + 1). Sabiendo que 243=3⁵, se deduce que 243 es divisible sólo por los números siguientes, que son cuadrados:

1, 3² 9².

Así pues, (y + 1)² debe ser igual a 1, 32 ó 91. Puesto que y debe ser un número positivo, resulta que y es 8 ó 2.

Entonces x será igual a

243 · 8 / 81 ó 243 · 2 / 9

Los números buscados, por lo tanto, serán 24 y 8 ó 54 y 2.