7. El álgebra del vuelo a la Luna
Del mismo modo como se han encontrado los puntos de igual audición de dos tipos de altavoces, se puede encontrar también puntos de igual atracción del cohete cósmico por dos cuerpos celestes, la Tierra y la Luna. Busquemos estos puntos.
De acuerdo con la ley de Newton, la fuerza de atracción recíproca de dos cuerpos es directamente proporcional al producto de las masas que se atraen, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Si designamos con M la masa de la Tierra y con x la distancia entre ella y el cohete, la fuerza con que la Tierra atrae cada gramo de masa de la nave aérea se expresará mediante
donde k es la fuerza de atracción recíproca de un gramo por un gramo a la distancia de 1 cm.
La fuerza con que la Luna atrae cada gramo del cohete en ese mismo punto será:
donde m es la masa de la Luna y l la distancia que la separa de la Tierra (se presupone que el cohete se halla en la recta que une los centros de la Tierra y de la Luna). El problema exige que:
es decir:
La relación M/m, según la Astronomía, equivale aproximada-mente a 81,5.
Aplicándola tendremos:
por lo cual:
80,5 x2 - 163 lx + 81,5 l2=0
Al despejar la incógnita x resulta:
x1= 0,9 l , x2 = 1,12 l.
Al igual que en el problema de los altavoces, se llega a la conclusión de que en la línea que une la Tierra y la Luna existen dos puntos buscados donde la atracción de ambos planetas actúa sobre el cohete con idéntica intensidad: uno a 0,9 de la distancia que separa los planetas partiendo del centro de la Tierra; el otro, a 1,12 de esta misma distancia. Como quiera que la distancia l entre los centros de la Tierra y la Luna› 384.000 km, uno de los puntos buscados se encuentra a 346.000 km de la Tierra; el otro, a 430.000 km. Sabemos ya por el problema anterior que esa misma propiedad caracteriza a todos los puntos de la circunferencia que pasa por los dos puntos hallados, tomados como los dos extremos del diámetro. Si hacemos girar esa circunferencia tomando como eje la línea que une los centros de la Tierra y la Luna describirá una esfera cuyos puntos responden a las exigencias del problema.
Figura 17
El diámetro de esa esfera llamada “esfera de atracción” de la Luna (fig. 17) será igual a:
1,12 l - 0,9 l = 0, 22 l › 84.000 km
Mucha gente piensa erróneamente que para acertar con un cohete en la Luna basta con hacerle alcanzar la esfera de atracción de ésta.
A primera vista parece que si el cohete se halla dentro de la esfera de atracción (y su velocidad no es muy grande) él debe caer forzosamente en la superficie de la Luna, por cuanto la fuerza de atracción de la Luna “supera” a la de la Tierra.
Si fuera así entonces la tarea del vuelo a la Luna sería mucho más fácil, pues no haría falta acertar a la Luna cuyo diámetro se ve en el cielo bajo un ángulo de ½’, sino a un globo de 84.000 km de diámetro, la dimensión del cual equivale a 12’.
Pero no es difícil demostrar el error con un sencillo razonamiento. Supongamos que un cohete lanzado desde la Tierra hacia la Luna, al perder su velocidad a causa de la atracción terrestre, llegue a la esfera de la atracción lunar teniendo la velocidad cero. ¿Va a caer éste en la Luna? ¡De ningún modo!
En primer lugar, dentro de la esfera de atracción lunar hay también la atracción terrestre.
Por eso fuera de la línea de Tierra - Luna aunque la fuerza de atracción de lunar “supera” a la terrestre, éstas fuerzas se suman de acuerdo con la regla del paralelogramo y obtendremos una fuerza resultante que no se dirige directamente al centro de la Luna (esta fuerza resultante sólo se dirige directamente al centro de la Luna en la línea de Tierra - Luna).
En segundo lugar (y esto es lo más importante), la Luna misma es un blanco móvil y si nosotros queremos saber cómo se va a mover el cohete con relación a ésta (si éste va a “caer” en ella), hace falta tener en cuenta la velocidad del cohete respecto a la Luna. Mas esta velocidad no equivale a cero, pues la misma Luna se mueve alrededor de la Tierra con una velocidad de 1 km/seg. Por eso la velocidad del movimiento del cohete con relación a la Luna es demasiado grande para que ésta pueda atraer el cohete o por lo menos detenerlo en su esfera de atracción como un satélite artificial. En realidad la atracción de la Luna empieza a ejercer influencia considerable en el movimiento del cohete antes de acercarse éste a la esfera de atracción de lunar. En la balística celeste hay que tener en cuenta la atracción lunar desde el momento en que el cohete llega a la esfera de influencia de la Luna que tiene el radio de 66.000 km. En este caso ya se puede considerar el movimiento del cohete con relación a la Luna al olvidar por completo la atracción terrestre, pero hace falta tener en cuenta la velocidad exacta (respecto a la Luna) con que el cohete entra en la esfera de influencia lunar. Por eso es natural que el cohete deba ser lanzado a la Luna siguiendo una trayectoria que pueda asegurar que la velocidad (con relación a la Luna) de entrada en la esfera de influencia lunar esté dirigida directamente a la Luna. Para eso la esfera de influencia de la Luna debe chocar con el cohete que se mueve a su encuentro.
Como se ve no es tan fácil acertar a la Luna como se haría a un globo de 84.000 km de diámetro.