9. ¿Qué números son?

Hállense tres números consecutivos en los que el cuadrado del número del medio sea mayor en una unidad al producto de los dos restantes.

Si la primera cifra es x, tendremos la ecuación:

(x + 1)² = x (x + 2) + 1.

Abriendo los paréntesis resultará la siguiente ecuación:

x² + 2x + 1 = x² + 2x + 1,

de la cual no puede deducirse la magnitud de x. Esto muestra que la igualdad formulada por nosotros es una identidad; y la identidad es efectiva, no sólo cuando sus letras encierran un valor determinado, como ocurre en la ecuación, sino para cualquier valor de las mismas.

Por ello, tres números consecutivos, sean los que fueren, poseen dicha propiedad. En efecto, tomemos tres cifras al azar:

17, 18, 19

y nos convenceremos de que

18² -17 *19 = 324 - 323 = 1.

Lo inevitable de esta correlación salta más a la vista si expresamos la segunda cifra con la letra x, con lo que

x² - 1 = (x + 1) * (x - l).

Es decir, se trata de una identidad evidente.