24. Velocidad media

Un automóvil cubrió la distancia entre dos ciudades a 60 km por hora e hizo el viaje de regreso a 40 km por hora. ¿Cuál fue la velocidad media de su recorrido?

La aparente sencillez del problema confunde a muchos. Sin pensar detenidamente en él, hallan la media aritmética de 60 y 40, es decir, la semisuma

(60 + 40) / 2 = 50

Esta “simple” solución sería cierta si la ida y la vuelta hubieran durado el mismo tiempo.

Pero es evidente que el recorrido de vuelta (a menos velocidad) requiere más tiempo que la ida. Si tenemos esto en cuenta, veremos que la respuesta de 50 km es errónea.

Y así es, en efecto. La ecuación nos da otra solución. No resulta difícil establecer la ecuación si introducimos una incógnita auxiliar: la magnitud s, distancia entre las dos ciudades.

Expresemos con x la velocidad media buscada y formemos la ecuación

2 · s/x = s/60 + s/40

Comoquiera que s 0, podemos dividir la ecuación por s, obteniendo,

2/x = 1/60 + 1/40

de donde

x = 2 / (1/60 + 1/40) = 48

De esta forma vemos que la respuesta acertada no es 50, sino 48 km por hora. Si resolviéramos este mismo problema con letras (en la ida, el automóvil marchaba a una velocidad de a por hora, y de vuelta, a b por hora y obtendríamos la ecuación

2s/x = s/a + s/b

de donde al despejar la x resultará

2/(1/a + 1/b)

Esto se denomina media armónica de las magnitudes a y b.

Por lo tanto, la velocidad media del recorrido se expresa, no con la media aritmética, sino con la media harmónica de las velocidades. Para a y b; positivas, la media harmónica será siempre menor que la media aritmética a + b/2, como se ha visto en el ejemplo numérico (48 ‹50).