8. La cometa

Búsquese la forma de una cometa con un sector circular que tenga la mayor superficie, partiendo de un perímetro previamente dado.

Precisadas las condiciones del problema, debemos hallar la relación entre la longitud del arco del sector y su radio que nos dé la mayor superficie posible, sin alterar el perímetro dado.

Figura 24

Si el radio de un sector es x y el arco y, el perímetro l y la superficie S, se expresarán así (fig. 24).

l = 2x + y,

S = xy/2 = x (l-2 x) /2

La magnitud de S llega a su máximo valor, con los valores de x que lo proporcionen también a la expresión 2x(1 - 2x), o sea, el cuádruplo de la superficie, Y como la suma 2x + (1 - 2x) = l es una magnitud constante, su producto será el mayor cuando 2x = l - 2x, de donde:

x = l/ 4, y = l - 2 · l /4 = l /2

De esta forma, un sector con perímetro dado tiene la mayor superficie cuando su radio representa la mitad del arco (es decir, la longitud de su arco es igual a la suma de los radios; o la longitud de la línea curva de su perímetro es igual a la longitud de la quebrada).

El ángulo del sector es aproximadamente de 115°, o sea, dos radianes. Las cualidades de vuelo de tal cometa ya es una cuestión ajena a este problema.