11. Ecuación indeterminada de tercer grado

La suma de los cubos de tres números enteros puede ser el cubo de un cuarto número. Por ejemplo,

3³ + 4³ + 5³ = 6³.

Esto significa, entre otras cosas, que el cubo, cuya arista es igual a 6 cm equivale a la suma de los volúmenes de tres cubos, en los que sus aristas sean 3, 4 y 5 cm (fig. 13). Según cuentan, esta correlación interesó vivamente a Platón.

Intentemos hallar otras correlaciones del mismo género, es decir, resolvamos la siguiente tarea: encontrar soluciones a la ecuación

x³+ y³+ z³ = u³.

Es más cómodo, sin embargo, expresar la incógnita u con -t. Entonces la ecuación ofrecerá una forma más sencilla:

x³+ y³+ z³+ t² = 0

Veamos un método que nos permita hallar multitud de soluciones a esta ecuación, en números enteros (positivos y negativos). Supongamos que a, b, c, d y , , , son dos grupos de cuatro números que satisfacen la ecuación. Sumemos a los números del primer grupo de cuatro los del segundo multiplicados por un cierto número k, y busquemos éste de forma que los números obtenidos

a + k, b + k, c + k, d + k,

satisfagan también la ecuación. En otras palabras: elijamos k de tal forma que sea satisfecha la igualdad

(a + k)³ + (b + k)³ + (c + k)³ + (d + k)³ = 0.

Al abrir los paréntesis, sin olvidar que a, b, c, d y , , , satisfacen las exigencias de nuestra ecuación, es decir, que tienen lugar las igualdades

a³+ b³+ c³+ d³ = 0,

³+ ³+ ³+ ³ = 0

obtenemos:

3a²k + 3ak²² + 3b²k + 3bk²² + 3c²k + 3ck²² + 3d²k + 3dk²² = 0,

ó

3k[(a² + b² + c² + d²) + k(a²+ b²+ c²+ d²)]= 0

El producto será cero sólo en el caso en que lo sea uno de sus factores. Equiparando cada uno de los factores a cero obtenemos dos valores para k. El primero de ellos k = 0, no nos satisface; ello significa que si a los números a, b, c y d no se les agrega nada, los números obtenidos satisfacen nuestra ecuación. Por eso tomaremos solamente el segundo valor de k:

De aquí que, conociendo dos grupos de cuatro números que satisfagan la ecuación de partida, puede ser hallado un nuevo grupo: para esto hay que sumar a los números del primer cuarteto los del segundo multiplicados por k, donde k tiene el valor indicado más arriba.

Para aplicar este método es preciso encontrar dos grupos de cuatro números que satisfagan las condiciones de la ecuación inicial. Uno de ellos (3, 4, 5, -6) es ya conocido. ¿De dónde sacar otro? No es difícil encontrar salida a esta situación; el grupo pueden formarlo los números r, - r, s, -s, que responden, sin duda, a las condiciones de la ecuación inicial. En otras palabras, supongamos que

a = 3, b = 4, c = 5, d = -6,

= r, = -r, = s, = -s.

Entonces k, tomará la siguiente forma:

y los números a + k, b + k, c + k, d + k serán respectivamente iguales a:

De acuerdo con lo expuesto estas cuatro expresiones satisfacen las exigencias de la ecuación de partida

x³+ y³+ z³+ t² = 0

Comoquiera que esos quebrados tienen el mismo denominador, puede prescindirse de éste. (En consecuencia, los numeradores de estos quebrados también satisfacen las exigencias de la ecuación examinada.) Se ha visto, pues, que la ecuación indicada es satisfecha

(cualquiera que sea el significado de r y s) por los siguientes números:

x = 28r² + 11 rs - 3s²

y = 21r² - 11rs - 4s²

z = 35r² + 7rs + 6s²

t = - 42r² - 7rs - 5s²,

lo cual puede comprobarse elevando estas expresiones al cubo y sumándolas. Atribuyendo a r y s diversos valores enteros podemos obtener toda una serie de soluciones a la ecuación expresadas en números enteros. Si en estas circunstancias los números obtenidos tienen un factor común, podemos dividir por él todos estos números. Por ejemplo, cuando r = l, s = l, las incógnitas x, y, z, t equivaldrán a 36, 6, 48, -54, o, que al dividirlos por 6, darán 6, 1, 8, -9. Por consiguiente,

63 + 13 + 83 = 93.

He aquí una serie más de igualdades del mismo tipo (obtenidas después de simplificadas al ser divididas por un divisor común):

Observemos que si en el grupo inicial 3, 4, 5, -6, o en alguno de los obtenidos después, se cambian de sitio los números y se aplica el mismo método, obtendremos una nueva serie de soluciones. Por ejemplo, tomando decir, suponiendo que a = 3, b = 5, c = 4, d = -6) z, t, los valores

x = 20r² + 10rs - 3s²

y = 12r² - 10rs -5s²

z = 16r² + 8rs + 6s²

t = -24r² - 8rs - 4s²

De aquí que al variar los valores de r y s obtengamos una serie de nuevas correlaciones:

De esta manera puede obtenerse un número infinito de soluciones de la ecuación dada.