10. Números compuestos

Los números primos, es decir, aquellos que son mayores que 1 y no se dividen exactamente más que por sí mismo y la unidad, son infinitos.

A partir de 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…, su serie es interminable. Intercalados entre los números compuestos, dividen la serie de números naturales en series más o menos prolongadas de números compuestos.

¿Cuál es la continuidad de estas series? ¿Puede encontrarse alguna que abarque, por ejemplo, hasta mil números compuestos sucesivos?

Puede demostrarse, aunque parezca inverosímil, que las series de números compuestos, situadas entre los primos, pueden ser de cualquier e x tensión. No hay límites para la prolongación de tales grupos, ya que pueden estar formados por miles, millones, trillones, etc., de números compuestos.

Para mayor facilidad no serviremos del signo convencional n! (factorial de n), que representará el producto de todos los números consecutivos, del 1 á n inclusive. Por ejemplo, 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5.

Demostremos como la serie

[(n + 1)! + 2], [(n + 1)! + 3], [(n + 1)! + 4],…, [(n + 1)! + n + 1]

inclusive, está formada por n números compuestos consecutivos.

Estos números van sucediéndose uno tras otro en serie natural, por cuanto cada uno es superior en una unidad al que le antecede. Queda tan solo por demostrar que todos ellos son compuestos.

El primero

[(n + 1)! + 2] = 1 · 2· 3· 4· 5· 6· 7·… · [(n + 1) + 2],

es par, ya que en sus dos sumandos contiene el factor 2. Y todo número par mayor que 2 es compuesto.

El segundo

[(n + 1)! + 3] = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 ·… · [(n + 1) + 3],

consta de dos sumandos, cada uno de los cuales es múltiplo de 3. Por lo tanto, este número también es compuesto.

El tercero

[(n + 1)! + 4] = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 ·… · [(n + 1) + 4]

es divisible por 4, ya que se compone de sumandos múltiplos de 4. De manera análoga establecemos que el número (n + 1)! + 5 es múltiplo de 5, etc. En otras palabras, cada uno de estos números contiene un factor, además del mismo número y de la unidad, por lo tanto será compuesto. Si se desea obtener 5 números compuestos consecutivos basta sustituir la n por el 5 en la serie anterior. De este modo resultará

722, 723, 724, 725, 726

Por ésta no es la única serie de cinco números compuestos consecutivos. Existen también, como por ejemplo:

62, 63, 64, 65, 66

O números todavía menores:

24, 25, 26, 27, 28

Intentemos resolver ahora un problema: Escribir diez números compuestos consecutivos.

En virtud de lo expuesto, el primero de los diez números buscados puede ser

1 · 2 · 3 · 4 x… · 10 · 11 + 2 = 39.816.802

Por consiguiente, para la serie de números buscada, nos sirve

39.816.802, 39.816.803, 39.816.804, etc.

Sin embargo, existen series de diez números compuestos consecutivos considerablemente más pequeños. Incluso puede señalarse una serie no de diez, sino de trece números, comprendidos entre la primera y la segunda centena:

114, 115, 116, 117, etc. hasta el 126, inclusive.