12. Cien mil marcos por la demostración de un teorema

Cierto problema de ecuaciones indeterminadas adquirió en sus tiempos enorme popularidad debido a que al afortunado que lo resolviera con acierto se le ofrecía todo un capital ¡100 000 marcos alemanes!

El ejercicio consiste en demostrar la siguiente tesis llamada teorema o “gran proposición” de Fermat.

La suma de potencias de idéntico grado de dos números enteros no puede ser potencia de un tercer número entero. Se excluye sólo la segunda potencia, para la que es posible.

En otras palabras, hay que demostrar que la ecuación

xⁿ + yⁿ = zⁿ

no tiene solución, tratándose de base entera, para n› 2.

Aclaremos lo dicho. Hemos visto que las ecuaciones

x² + y² = z²,

x³ + y³ + z³ = t³

tienen, tratándose de números enteros, cuantas soluciones se deseen. Sin embargo será imposible encontrar tres números enteros positivos que satisfagan la igualdad

x³ + y³ = z³.

Idéntico fracaso acompaña cuando se trata de las potencias de cuarto, quinto, sexto grados, etc. Esto es lo que afirma la “gran proposición de Fermat”.

¿Qué se exige de los aspirantes al premio? Deben demostrar esta tesis para todas las potencias que cumplen las condiciones dadas. El caso es que el teorema de Fermat no está aún demostrado y pende, por decirlo así, en el aire.

Han transcurrido tres siglos desde que fue formulado, sin embargo, los matemáticos no han logrado hasta ahora hallar su demostración.

Las figuras más eximias de esta ciencia se han ocupado del problema, mas, en el mejor de los casos,

^[2]consiguieron demostrar el teorema para algunos exponentes o para ciertos grupos de ellos; pero de lo que se trata es de hallar la demostración general, para todo exponente entero.

Lo interesante del caso es que esta inaccesible demostración del teorema de Fermat, por lo visto, fue descubierta en cierta ocasión, y después se extravió. El autor del teorema, el genial matemático del siglo XVII, Pierre de Fermat, afirmaba que conocía la demostración.

Su “gran proposición”, fue escrita por él (lo mismo que toda una serie de teoremas acerca de la teoría de los números) en forma de observación en los márgenes de una obra de Diofanto, acompañándola de las siguientes palabras: “He encontrado una demostración verdaderamente asombrosa para esta proposición, pero aquí hay poco sitio para desarrollarla”.

En ningún sitio, ni en los documentos del gran matemático ni en su correspondencia, ha sido posible hallar huellas de esta demostración.

Los discípulos de Fermat han tenido que marchar por su propio camino.

He aquí los resultados de estos esfuerzos: Euler (1797) demostrar; el teorema de Fermat para potencias de tercero y cuarto grados, para las de quinto fue demostrado por Legendre (1823); para las de séptimo

^[3], por Lamé y Lebesgue (1840). En 1849, Kummer demostró el teorema para una serie muy amplia de potencias y, entre otras, para todos los exponentes menores de ciento. Estos últimos trabajos rebasan con mucho la esfera de las matemáticas conocidas por Fermat, y empieza a ser problemático el hecho de que este último pudiera hallar la demostración general de su “gran proposición”. Además es posible que él se equivocara.

Quien sienta curiosidad por la historia y el estado actual del problema de Fermat, puede leer el folleto de A. Jinchin El gran teorema de Fermat. Esta publicación, obra de un especialista, está dedicada a lectores que sólo tienen conocimientos elementales de matemáticas.

Notas:

^[1] Obsérvese que los coeficientes de t₁ son iguales a los de x e y en la ecuación inicial 617x - 125y = 91, además, uno de los coeficientes de t₁ tiene el signo contrario. Esto no es fortuito: puede demostrarse que debe suceder así siempre que los coeficientes de x y de y sean primos entre sí.

^[2] Fermat (1603-1665) no era matemático profesional. Era jurista y consejero del parlamento; se dedicaba a las investigaciones matemáticas sólo en los momentos libres. No obstante, hizo una serie de descubrimientos extraordinarios, los cuales, dígase de paso, no publicaba, sino que, como se acostumbraba hacer en esa época, los daba a conocer en su correspondencia a los hombres de ciencia, amigos suyos: Pascal, Descartes, Huygens, Roberval y otros.

^[3] Para los exponentes compuestos (a excepción del 4) no hace falta ninguna demostración especial: estos casos se reducen a los casos con exponentes primos