12. El embudo de mayor capacidad

Debemos construir la parte cónica de un embudo valiéndonos de un círculo de hojalata. Para ello se corta un sector en dicho círculo y, con el resto, se construye el cono (fig. 31).

Figura 31

¿Cuántos grados debe tener el arco del sector que se ha cortado para que el embudo alcance la mayor capacidad posible?

La longitud del arco de aquella parte que se aprovecha para el cono se representa con la x (en unidades lineales). Por lo tanto, la generatriz será el radio, R, del círculo de hojalata, y la circunferencia de la base será igual a x. El radio r, de la base del cono, se determinará en la igualdad:

2 r = x,

de donde:

r = x/ 2

La altura del cono, según el teorema de Pitágoras, será (fig. 31).

El volumen de este cono equivaldrá a:

Y esta expresión alcanza su mayor valor simultáneamente con la expresión:

y con su cuadrado:

y como:

es un valor constante, el último producto (como se demuestra en las páginas anteriores) llega a su máximo valor cuando x tiene una magnitud tal, que:

de donde:

El arco x tiene alrededor de 295° y, en consecuencia, el arco del sector cortado equivaldrá aproximadamente a 65 grados.

¿A qué altura de la mesa debe hallarse la llama de una vela para que ilumine con la mayor intensidad a una moneda colocada sobre dicha mesa?

Puede parecer que para conseguir el objetivo propuesto deba colocarse la llama lo más baja posible. Esto es falso. En esas condiciones, los rayos de luz caen muy oblicuos. Más si se eleva la vela para que los rayos caigan más verticales, el foco de luz se aleja. Por eso, la iluminación más ventajosa es, sin duda, la que se realiza desde una altura media.

Figura 32

Denominemos a esta altura con la letra x (fig. 32). La distancia BC, que media entre la moneda B y la base C de la perpendicular que pasa por la llama A, la designaremos con la letra a. Si la claridad de la llama es i, de acuerdo con las leyes de la óptica, la luminosidad será expresada así:

donde es el ángulo de caída de los rayos AB. Y como:

la luminosidad será:

Esta expresión alcanza su máximo valor cuando sin variar la x, adquiera también su mayor magnitud el cuadrado de aquélla:

Omitamos el valor del factor i² por su magnitud constante y transformemos el resto de la expresión analizada como sigue:

La expresión transformada alcanza su mayor magnitud cuando la alcanza la expresión:

por cuanto el factor constante introducido, a 4, no influye en el valor de x con el cual el producto llega a su más elevada magnitud.

Partiendo de que la suma de las primeras potencias de estos factores:

es una magnitud constante, se deduce que el producto examinado alcanza su más alto valor cuando:

Tenemos una ecuación:

a² = 2x² + 2a² -2a²

que al resolverla resultará:

La moneda es iluminada con la máxima intensidad cuando el foco de luz se encuentra a una altura de 0,71 de la distancia desde la proyección del foco hasta la moneda. El conocimiento de esta correlación ayuda a instalar con mayor acierto el alumbrado en los lugares de trabajo.