7. El artel de segadores

En los recuerdos acerca de L. Tolstoi, el conocido físico A. Tsinguer refiere el siguiente problema que agradaba en extremo al eminente escritor:

“Un artel de segadores debía segar dos prados, uno tenía doble superficie que otro. Durante medio día trabajó todo el personal del artel en el prado grande; después de la comida, una mitad de la gente quedó en el prado grande; y la otra mitad trabajó en el pequeño.

Figura 6

Durante esa tarde fueron terminados los dos tajos, a excepción de un reducido sector del prado pequeño, cuya siega ocupó el día siguiente completo a un solo segador. ¿Con cuántos segadores contaba el artel?”.

En este ejercicio, además de la incógnita fundamental - número de segadores - que expresamos con la x, es conveniente introducir otra incógnita complementaria: la superficie del sector segado por un trabajador en un solo día, que expresamos con la y.

Aunque el problema no exige que se halle su valor, contribuye a encontrar la raíz de la x.

Representemos la superficie del prado grande con x e y. Este prado lo segaron durante medio día x trabajadores, que segaron ½ * (x * y) = x*y/2.

Durante la segunda parte del día trabajó allí la mitad del artel, es decir, x/2 y segaron

x/2 * ½ * y = x*y/4

Comoquiera que al final de la jornada había sido segado todo el prado, su área será:

x·y/2 + x·y/4 = 3·x·y/4

Expresamos ahora la superficie del prado menor mediante x e y. Durante medio día se ocuparon en él x trabajadores y segaron una superficie de

½ · x/2 · y = x·y/4

Agreguemos a esto el sector que quedó sin segar, que es igual a y (superficie segada por un trabajador en una jornada), y hallaremos la superficie del prado menor:

x·y/4 + y = (x·y + 4 · y)/4

No nos queda más que traducir al idioma del álgebra la frase “el primer prado tiene doble superficie que el segundo”, y la ecuación quedará establecida como sigue:

Dividiendo por y el numerador y denominador del quebrado de la segunda igualdad, se elimina la incógnita auxiliar, resultando la siguiente ecuación:

3x/(x + 4) = 2, ó 3x = 2x + 8

de donde x = 8.

En el artel había 8 segadores.

Después de haber sido publicada la primera edición del Algebra Recreativa, el profesor A. Tsinguer me envió una información detallada y muy interesante, relacionada con este problema. El efecto esencial del problema, a su juicio, reside en que “no es algebraico en absoluto sino aritmético, y aunque es muy sencillo se tropieza conciertas dificultades en su resolución debido a que no es de tipo corriente”.

“La historia del presente problema es la siguiente, continúa el profesor A. Tsinguer. En la facultad de matemáticas de la Universidad de Moscú, cuando estudiaban en ella mi padre e I. Raievski, mi tío, (amigo íntimo de L. Tolstoi), entre otras disciplinas se enseñaba algo semejante a la pedagogía. A este fin, los estudiantes debían ir a una escuela pública urbana, puesta a disposición de la universidad, y en colaboración con expertos y venerables maestros, hacían prácticas pedagógicas. Entre los compañeros de estudios de Tsinguer y Raievski había un tal Petrov, que, según cuentan, era persona muy inteligente y original en extremo. Este Petrov (fallecido en su juventud, creo que de tisis) afirmaba que en las clases de aritmética embrutecían a los escolares con problemas y métodos estereotipados. Para poner de evidencia su punto de vista, Petrov ingeniaba problemas que por salirse de las normas corrientes embarazaban a los “expertos y venerables maestros”, pero que los alumnos más lúcidos, todavía no embotados por el estudio rutinario, resolvían con facilidad.

Entre dichos problemas (Petrov discurrió varios) estaba el de los segadores. Los maestros con experiencia, claro, podían resolverlo con facilidad mediante ecuaciones, pero no daban con su sencilla resolución aritmética. Sin embargo, el problema es tan fácil que para resolverlo en absoluto no merece la pena servirse del álgebra.

Si el prado mayor fue segado por todo el personal del artel en medio día, y por la mitad de la gente en el resto de la jornada, es natural que medio artel segó en medio día 1/3 del prado. Por consiguiente, en el prado menor quedaba sin segar

1/2 - 1/3 = 1/6

Si un trabajador siega en un día 1/6 del prado, y si fue segado 6/6 + 2/6 = 8/6, esto quiere decir que había 8 segadores.

Figura 7

Tolstoi, aficionado de siempre a los problemas que se resuelven utilizando algún subterfugio y ofrecen cierta dificultad, conocía desde la juventud éste, de los segadores, gracias a mi padre. Cuando tuve ocasión de hablar de dicho problema con Tolstoi, ya anciano, le agradaba, sobre todo, el hecho que el problema se hace más comprensible si, al resolverlo, se emplea este sencillo diagrama (fig. 7)”.

Ofrecemos a continuación algunos problemas que, con cierta imaginación, son más fáciles de resolver por medio de la aritmética que valiéndose del álgebra.