11. Acerca de los números primos

El hecho de que existan infinitas series muy prolongadas de números compuestos consecutivos puede inducir a la creencia de que las series de números primos son limitadas.

Por ello, no será de más demostrar que la cantidad de dichas series de números primos es infinita.

Esta demostración se debe al matemático Euclides, de la antigua Grecia, figura en sus célebres Principios. Pertenece a la categoría de demostraciones por reducción al absurdo.

Supongamos que la serie de números primos es limitada y que representamos con la N el último número de ella. Desarrollemos la factorial de N:

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 ·… · N = N!

Al sumarle la unidad, resultará N! + 1

Este número, al ser entero, debe contener por lo menos un factor primo, es decir, debe ser divisible, aunque no sea más que por un número primo. Pero todos los números primos, de acuerdo con el supuesto no superan el número N; mientras que el número N! + 1 no es múltiplo de ninguno de los números menores o iguales a N, pues su división siempre da un resto equivalente a la unidad.

Por lo tanto, no puede aceptarse que la serie de números primos sea limitada: tal suposición conduce al absurdo. Por consiguiente, por muy considerable que sea el grupo de números consecutivos compuestos que nos encontremos en la serie de números naturales, puede tenerse la seguridad de que al remontarse por ella se encontrarán infinitos números primos.