9. El problema de Newton

Examinemos ahora un problema del mismo tipo que el anterior: el problema de Newton acerca de los toros.

El problema, en realidad, no fue ideado por Newton, sino que es de origen popular.

“Tres prados cubiertos de hierba de una misma espesura y con el mismo grado de crecimiento, tienen un área de 3 1/3 Ha, 10 Ha y 24 Ha. La hierba del primero es comida por 12 toros durante 4 semanas; la del segundo, por 21 toros durante 9 semanas. ¿Cuántos toros comerán la hierba del tercero durante 18 semanas?”

Introducimos la incógnita auxiliar y, que significa la parte de la reserva inicial de hierba que crece en 1 Ha durante una semana. En el primer prado crece durante la primera semana una cantidad de hierba igual á 3 1/3y; durante 4 semanas, 3 1/3y*4= (40/3) y de la reserva de hierba que había inicialmente en 1 Ha. Esto equivale a un crecimiento del área inicial del prado igual a:

3 1/3 + (40/3) y hectáreas.

En otras palabras: los toros comen tanta hierba como se precisa para cubrir un prado de

{3 1/3 + (40/3) y} hectáreas.

En una semana 12 toros se comen un cuarto de esta cantidad, y un toro come en una semana 1/48, es decir, la reserva de hierba que hay en un área de

{3 1/3 + (40/3) y} / 48 = (10 + 40y) / 144 hectáreas.

De esa misma manera, con los datos del segundo prado, hallamos el área de éste que alimenta a un solo toro durante una semana:

crecimiento de la hierba en 1 Ha durante 1 semana = y

crecimiento de la hierba en 1 Ha durante 9 semanas = 9y

crecimiento de la hierba en 10 Ha durante 9 semanas = 90y

La superficie del sector que contiene hierba suficiente para alimentar 21 toros durante 9 semanas es igual a

10 + 90y.

El área necesaria para mantener un toro durante una semana será:

(10 + 90y)/ 9 · 21 = (10 + 90y)/189

hectáreas. Ambas normas de alimentación deben ser idénticas:

(10 + 40y)/144 = (10 + 90y)/189

Al despejar la incógnita encontramos que y=1/12. Veamos ahora cuál debe ser el área del prado con hierba suficiente para mantener un toro durante una semana:

(10 + 40y)/144 = (10 + 40/12)/144 = 5/54

hectáreas. Ocupémonos, por último, de la pregunta del problema. Si representamos el número desconocido de toros con la x, tendremos:

{24 + (24 · 18/12)}/18x = 5/54

de donde x = 36. El tercer prado puede mantener 36 toros durante 18 semanas.