14. En ocasiones es preferible no recurrir al álgebra

Junto a los casos en los que el álgebra presta un gran servicio a la aritmética, hay otros en que su aplicación da lugar a complicaciones innecesarias. El verdadero conocimiento de las matemáticas consiste en saber emplear los recursos matemáticos de tal suerte que sirvan para encontrar el camino más corto y seguro, sin reparar en que el método de solución pertenezca a la aritmética, al álgebra, a la geometría, etc. Por eso será útil examinar un caso en que el empleo del álgebra tan solo embaraza la solución. Como ejemplo aleccionador puede servirnos el siguiente problema:

Encontrar el número más pequeño entre los que divididos

por 2 dan de residuo 1

por 3 dan de residuo 2

por 4 dan de residuo 3

por 5 dan de residuo 4

por 6 dan de residuo 5

por 7 dan de residuo 6

por 8 dan de residuo 7

por 9 dan de residuo 8

Propusiéronme este problema acompañándolo con las siguientes palabras: “¿Cómo lo resolvería usted? Aquí hay demasiadas ecuaciones y resulta muy lioso”

La cosa es sencilla. Para la solución del problema no hacen falta ni ecuaciones ni álgebra. Se resuelve con un sencillo razonamiento aritmético.

Agreguemos una unidad al número buscado. ¿Cuál será el residuo de este número si lo dividimos por dos? Será 1 + 1 = 2; es decir, el número se divide por 2 sin residuo. De esta misma manera se divide sin residuo por 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El menor de estos números será 9 · 8 · 7 · 5 = 2.520, y el número buscado, 2.519, lo que es fácil comprobar.

Notas:

^[1] Observemos que el grupo de dos cifras 76 puede ser hallado con razonamientos análogos a los efectuados más arriba. Basta con resolver la cuestión de qué cifra debe ser colocada delante del 6 para obtener un grupo de dos cifras que tenga la propiedad señalada. Por eso, el “número”… 7 109 376 puede ser conseguido agregando sucesivamente cifras ante el 6.^[@]

^[2] Los “números” infinitos pueden ser examinados, no sólo en el sistema de base diez, sino también en otros sistemas de numeración. Estos “números” examinados en el sistema de numeración de base p se llaman números de base p.

^[3] Por todo ello vemos que el número N da el mismo resto al dividirlo por 11 que el número 3. Si el número N tuviera una cantidad impar de cifras, el último grupo (el e x tremo de la izquierda) tendría una sola cifra. Además, los grupos como 03 también deben ser considerados como de una sola cifra, cual si se tratara sólo del guarismo 3.

^[4] Esto último, debido a que a² + 2 - 2a = (a² - 2a + 1) = (a - 1)² + 1 1, si a 1

^[5] Nos valemos a continuación de la siguiente aproximación: A/ (1 + a) ≈ A * (1 - a).