12. El número “e”
El 2,718… obtenido, número que desempeña en las matemáticas superiores un papel trascendental (quizás tan importante como el famoso ) tiene un signo especial de expresión: la e. Es un número irracional que no puede ser expresado con ninguna cifra exacta, pero se calcula con la aproximación deseada, mediante la siguiente serie:
Por el ejemplo de capitalización expuesto puede verse que el número ees el límite de la expresión:
para un incremento ilimitado de n.
Por numerosas razones, que no procede explicar aquí, es de suma conveniencia tomar el número e como base del sistema de logaritmos. Tales tablas (de “logaritmos naturales”) existen y se aplican en gran escala en, la ciencia y la técnica. Aquellas grandes tablas de 48, 61, 102 y 260 cifras, a las que nos hemos referido más arriba, tienen precisamente como base el número e. Con frecuencia el número e aparece allí donde menos se sospecha.
Supongamos, por ejemplo, el siguiente problema:
¿En cuántas partes debe dividirse el número a para que el producto de todas ellas tenga el máximo valor?
Ya sabemos que cuando la suma de factores es constante, su producto será el mayor cuando los factores sean iguales entre sí. Pero, ¿en cuántas partes hay que dividir a? ¿En dos, en tres, en diez? Las matemáticas superiores enseñan que se obtiene el máximo producto cuando los factores adquieren valores lo más cercanos posibles al del número e. Por ejemplo: 10 debe dividirse en tal cantidad de partes iguales que cada una de ellas se aproxime cuanto pueda a 2,718… Para ello hay que encontrar el cociente
10/2,718… = 3,678…
Mas, como no es posible dividir en 3,678… partes iguales hay que hacerlo por la cifra entera más próxima, por 4, y obtendremos el producto mayor los sumandos de 10, si éstos son iguales a 10/4 es decir, 2,5.
Quiere decirse que:
(2,5)4 = 39,0625
es el máximo producto que puede obtenerse multiplicando los sumandos iguales del número 10. En efecto, dividiendo 10 en 3 ó en 5 partes iguales, los productos de éstas son menores:
(10/3)3 = 37
(10/5)5 = 32
Para conseguir el máximo producto de las partes iguales del número 20, éste debe dividirse en 7 partes, puesto que
20/2,718… = 7,36› 7.
Para obtener el máximo producto de las partes iguales del número 50, éste debe dividirse en 18 partes, y 100 en 37, puesto que
50/2,718… = 18,4,
100/2,718… = 36, 8.
El número e desempeña un enorme papel en las matemáticas, la física, la astronomía y en otras ciencias. Veamos algunos casos en cuyo análisis matemático hay que valerse de este número (la cantidad de casos se puede ampliar indefinidamente):
la fórmula barométrica (la disminución de la presión con la altura);
la fórmula de Euler;
la ley del enfriamiento de los cuerpos;
la desintegración radiactiva y la edad de la Tierra;
las oscilaciones libres del péndulo;
la fórmula de Tsiolkovski para la velocidad del cohete;
los fenómenos oscilatorios en un circuito radiofónico;
el crecimiento de las células.