7. El número del automóvil
Cuando paseaban por la ciudad tres estudiantes de matemáticas, observaron que el conductor de un automóvil infringió el reglamento de tráfico. Ninguno de los estudiantes recordaba el número (de cuatro cifras) de la matrícula, pero como los tres eran matemáticos, cada uno de ellos advirtió alguna particularidad de dicho número. Uno de ellos advirtió que las dos primeras cifras eran iguales. El segundo se dio cuenta de que también coincidían las dos últimas cifras. Y, por último, el tercero aseguraba que todo el número de cuatro cifras era un cuadrado exacto. ¿Puede determinarse el número de la matrícula del automóvil valiéndose tan sólo de estos datos?
Expresemos la primera y la segunda cifra del número buscado con la a, y la tercera y la cuarta con la b. Entonces el número será igual a
1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11 · (100a + b)
Este número es divisible por 11 y, por eso, (siendo un cuadrado exacto) se divide también por 112. En otras palabras, el número 100a + b se divide por 11. Al emplear cualquier de los criterios de divisibilidad e x puestos, deduciremos que el número a + b es divisible por 11
Pero esto significa que
a + b = 11
por cuanto cada una de las cifras a, b es menor que diez.
La última cifra b que es un cuadrado exacto, puede tomar los siguientes valores:
0, 1, 4, 5, 6, 9
Por eso, para la cifra a, que es igual a 11 - b, se encuentran los siguientes valores posibles:
11, 10, 7, 6, 5, 2
Los dos primeros valores son inaceptables, quedando, pues, los siguientes:
B = 4 a = 7
B = 5 a = 6
B = 6 a = 5
B = 9 a = 2
Vemos, en consecuencia, que el número de la matrícula debe ser alguno de éstos:
7744, 6655, 5566, 2299
Pero como los tres últimos no son cuadrados - el número 6655 es divisible por 5, pero no por 25; el 5566 se divide por 2, pero no por 4, y 2299 (producto de 12 · 19) tampoco es cuadrado - no queda más que 7744, segunda potencia de 88, que nos ofrece la solución del problema.