2. ¿Dónde construir el apeadero?

A 20 km del ferrocarril, cuya línea es recta, se encuentra el punto poblado B (fig. 21):

Figura 21

¿Dónde hay que construir el apeadero C para que en el viaje de A a B por la línea férrea AC, y por la carretera CB se invierta el menor tiempo posible? La velocidad por ferrocarril es de 0,8 y por carretera de 0,2 kilómetros por minuto.

Expresemos la distancia AD (desde A hasta la base de la perpendicular BD a la horizontal AD) con la a; y CD, con la x. Entonces:

AC = AD - CD = a -x

El tiempo empleado por el tren para cubrir el trayecto AC será igual a:

El tiempo necesario para recorrer la distancia CB de la carretera equivale a:

El viaje desde A hasta B ocupará, en total,

Esta suma, que expresamos con m, debe ser la menor.

La ecuación:

preséntase así:

Multiplicando por 0,8 tendremos:

Y cuando expresamos 0,8 m - a, con k, haciendo desaparecer el radical, tendremos la ecuación de segundo grado:

15 x² - 2 kx + 6.400 - k² = 0

de donde:

Y como k = 0, 8 m - a, al alcanzar m la mínima magnitud sucede lo mismo con la k, y viceversa. Mas para que x resulte real es necesario que 16 k² no sea menor que 96.000. Por lo tanto, el valor mínimo para 16 k² será 96.000. Por esa razón, m será la magnitud menor cuando 116 k² = 96.000, de donde

y por consiguiente:

El apeadero debe construirse aproximadamente a 5 km del punto D cualquiera sea la longitud a = AD.

No obstante, es evidente que nuestra solución tiene sentido sólo en el caso de x ‹a, pues al formular la ecuación hemos considerado que la expresión a - x era un valor positivo.

Si x = a› 5,16 no hace falta ningún apeadero y debe llevarse la carretera hasta la estación.

De manera idéntica hay que operar en los casos en que la distancia a sea inferior a 5,16 km.

Esta vez nosotros hemos obrado con mayor prudencia que la ecuación. Si hubiéramos confiado ciegamente en la ecuación, habríamos tenido que construir el apeadero más allá de la estación, cosa totalmente absurda: en este caso x›a, por eso, el tiempo ax/0,8 durante el cual teníamos que viajar en ferrocarril, sería negativo. El caso es aleccionador y muestra que, al valerse de recursos matemáticos hay que mantener una actitud prudente hacia los resultados obtenidos, recordando siempre que si no se cumplen las condiciones en las que se fundamenta el empleo del recurso matemático, el resultado puede perder todo sentido.