4. Comedias algebraicas
La sexta operación aritmética permite representar auténticas comedias y farsas algebraicas con los siguientes argumentos: 2 x 2 = 5; 2 = 3, etc. La gracia de tales representaciones algebraicas reside en un error, harto elemental, pero que, por hallarse muy oculto, tarda en ser descubierto.
Mostremos dos piezas de este repertorio cómico del álgebra.
2 = 3
En primer lugar aparece en escena una igualdad indiscutible:
4 - 10 = 9 - 15
En el siguiente “cuadro” se suma a ambos miembros de esta igualdad una misma cantidad, 6 ¼
4 - 10 + 6 ¼=9 - 15 + 6 ¼
El ulterior desarrollo de la comedia se reduce a transformaciones:
22 - 2 * 2* (5 / 2) + (5 / 2)2 = 32 - 2 * 3* (5 / 2) + (5 / 2)2
(2 - 5/2)2 = (3 - 5/2)2
Extraída la raíz cuadrada de ambos miembros de la igualdad, resulta:
2 - 5/2 = 3 - 5/2
Sumando 5/2 a uno y otro miembro, llegamos a la igualdad absurda:
2 = 3
¿En qué consiste el error?
El error consiste en que de la expresión:
(2 - 5/2)2 = (3 - 5/2)2
se dedujo que:
2 - 5/2 = 3 - 5/2
Aunque los cuadrados sean iguales, no por eso son idénticas las primeras potencias, pues
(-5)2 = 52
pero -5 no es igual a 5. Los cuadrados pueden ser iguales cuando las primeras potencias tienen distinto signo. En nuestro ejemplo se ofrece precisamente este caso:
(-1/2)2 = (1/2)2
pero ½ no es igual a -½
Nueva farsa algebraica:
2 · 2 = 5
La acción se desarrolla en forma semejante al caso anterior y se basa en el mismo truco.
Figura 14. Una farsa matemática
En escena aparece una igualad que no despierta ninguna desconfianza
16 - 36 = 25 - 45.
Se suma a cada miembro una misma cantidad:
16 - 36 + 20 ¼ = 25 - 45 + 20 ¼
A continuación se hacen las transformaciones siguientes:
42 - 2 * 4 * 9/2 + (9/2)2 = 52 - 2 * 5 * 9/2 + (9/2)2
Después, mediante el absurdo razonamiento anterior se llega a
4 - 9/2 = 5 - 9/2
4 = 5
2 · 2 = 5
Estos divertidos ejemplos deben prevenir a los matemáticos con poca experiencia contra toda actitud descuidada hacia las ecuaciones que tengan su incógnita en el radical.