1. Compra de una bufanda

Una bufanda cuesta 19 rublos, pero el comprador no tiene más que billetes de tres rublos; y la cajera, sólo de cinco. ¿Puede en estas condiciones abonarse el importe de la compra, y cómo hacerlo?

La misión de este problema se reduce a saber cuántos billetes de tres rublos deben entregarse a la cajera para que ella dé las vueltas con billetes de cinco, cobrando los 19 rublos. Las incógnitas del problema son dos: el número de billetes de tres rublos (x) y el número de billetes de cinco (y). Sólo puede plantearse una ecuación:

3x - 5y = 19

Aunque una ecuación con dos incógnitas tiene infinidad de soluciones, esto no quiere decir que entre ellas haya alguna en las que x e y sean números enteros y positivos (recordemos que se trata del número de billetes de banco). He aquí por qué el álgebra ha elaborado el método de solución de estas ecuaciones “indeterminadas”. El mérito de haberlas introducido en el álgebra pertenece al primer sabio europeo que cultivó esta ciencia, a Diofanto, célebre matemático de la antigüedad, por lo que estas ecuaciones se llaman con frecuencia “ecuaciones de Diofanto”.

En el ejemplo citado mostremos cómo deben resolverse tales ecuaciones. Hay que hallar el valor de x y de y en la ecuación

3x - 5y = 19

sin olvidar que tanto x cómo y son números enteros y positivos. Despejando la incógnita cuyo coeficiente es menor, es decir, 3x tendremos:

3x = 19 + 5y

de donde

x = (19 + 5y) / 3 = 6 + y + (1 + 2y) / 3

Como x e y son números enteros, la ecuación puede ser acertada sólo en el caso de que (1 + 2y)/3 sea también un número entero. Expresémosle con la letra t. Entonces

x = 6 + y + t,

donde

t = (1 + 2y)/3

y, por tanto,

3t = 1 + 2y, 2y = 3t - 1

De la última ecuación despejaremos la y

y = (3t -1)/2 = t + (t - 1)/2

Comoquiera que y y t son números enteros, (t - 1)/2 debe ser un número entero t₁. Por consiguiente,

y = t + t₁

y, además,

t₁ = (t - 1)/2

de donde

2t₁ = t - 1

t = 2t₁ + 1

Sustituyamos el valor de t = 2t₁ + 1 en las igualdades anteriores:

y = t + t₁ = 2t₁ + 1 + t₁ = 3t₁ + 1

x = 6 + y + t = 6 + (3t₁ + 1) + (2t₁ + 1) = 8 + 5t₁

De esta forma hemos encontrado la expresión para x y para y

x = 8 + 5t₁

y = 1 + 3t₁

Es sabido que x e y son enteros y además positivos, es decir, mayores que 0; por lo tanto,

8 + 5t₁› 0

1 + 3t₁› 0

De estas desigualdades resulta que

5t₁› -8 y t₁› -8/5

3t₁› -1 y t₁› -1/3

Con esto el valor t₁ está acotado.

De aquí que la magnitud t₁ es mayor que -1/3, (y claro, mucho mayor que -8/5). Mas, como t₁ es un número entero, se deduce que puede tener tan sólo los siguientes valores:

t₁ = 0, 1, 2, 3, 4,…

Los valores correspondientes de x y de y son:

x = 8 + 5t₁ = 8, 13, 18, 23, 28…

y = 1 + 3t₁ = 1, 4, 7, 10, 13…

Veamos ahora de qué manera puede efectuarse el pago: o bien se entregan 8 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta uno de cinco:

8 - 3 - 5 = 19

o se entregan 13 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta 4 billetes de 5 rublos:

13 x 3 - 4 x 5 = 19

Teóricamente, este problema tiene infinidad de soluciones, pero en la práctica su número es limitado, por cuanto ni el comprador, ni la cajera tienen una cantidad ilimitada de billetes de banco. Si cada uno dispone, por ejemplo, de 10 billetes, el pago puede efectuarse sólo de una forma: entregando 8 billetes de 3 y recibiendo uno de 5. Como vemos, en la práctica las ecuaciones indeterminadas pueden dar soluciones determinadas.

Volviendo a nuestro problema, proponemos al lector que, en calidad de ejercicio, resuelva por su cuenta una de las variantes: concretamente, examinar el caso en que el comprador no tenga más que billetes de 5 rublos, y la cajera, sólo de 3. En este caso aparecen las siguientes soluciones:

x = 5, 8, 11,…

y = 2, 7, 12,…

En efecto,

5 x 5 - 2 x 3 = 19

8 x 5 - 7 x 3 = 19

11 x 5 - 12 x 3 = 19

Podríamos obtener también estos resultados al tomar las soluciones del problema central mediante un sencillo procedimiento algebraico. Puesto que entregar billetes de cinco rublos y recibir de tres rublos equivale a “recibir billetes negativos de cinco rublos” y “dar billetes negativos de 3 rublos”, la nueva variante del problema se resuelve con la ecuación planteada en el problema central:

3x - 5y = 19

pero con la condición de que x e y sean números negativos. Por eso, de las igualdades

x = 8 + 5t₁

y = 1 + 3t₁

sabiendo que x ‹0 e y ‹0, deducimos:

8 + 5t₁ ‹0

1 + 3t₁ ‹0

y, por consiguiente,

t₁ ‹-8/5

Tomando t₁ =-2, -3, -4, etc., obtenemos de las fórmulas anteriores, los siguientes valores para x e y

t₁ = -2, -3, -4,…

x = -2, -7, -12,…

y = -5, -8, -11,…

El primer par de soluciones, x = -2, y = -5, significa que el comprador “paga menos dos billetes de tres rublos" y "recibe menos cinco billetes de cinco”, es decir, traducido al idioma común, quiere decir que paga con cinco billetes de a cinco, recibiendo como vuelta 2 billetes de a tres. De esta misma manera interpretaremos también las demás soluciones.