6. Divisibilidad por 11

El álgebra facilita en gran medida la búsqueda de indicios que permiten prever, sin recurrir a la división, si determinado número es divisible por uno u otro divisor. La divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 y 10 es ampliamente conocida. El caso del 11 es muy sencillo y práctico.

Supongamos que en un número de varias cifras, N, la cifra de las unidades es a, la de las decenas, b; la de las centenas, c; la de las unidades de millar d, etc., es decir

N = a + 10b + 100c + 1000d +… = a + 10· (b + 10c + 100d +…)

donde los puntos suspensivos representan la suma de las cifras siguientes. Restemos de N el número 11(b + 10c + 100d +…), múltiplo de 11. La diferencia es igual a

a - b - 10· (c + 10d +…)

que dará el mismo residuo que N al dividirla por 11. Si a esta diferencia le agregamos 11· (b + 10c + 100d +…), múltiplo de 11, obtendremos

a - b - 10· (c + 10d +…)

que dividido por 11, da el mismo residuo que el número N. Al sustraer 11 · (d +…), múltiplo de 11, resultará

a - b + c - d +… = (a + c +…) - (b + d +…)

que, dividido por 11 da el mismo resto que el número N. De aquí se desprende la siguiente regla de divisibilidad por 11: de la suma de las cifras que ocupan los lugares impares se resta la suma de las cifras que ocupan los lugares pares; si la diferencia es cero o múltiplo de 11 (negativo o positivo), el número que probamos será múltiplo de 11. En caso contrario no será divisible por 11. Probemos, por ejemplo, el número 87.635.064:

8 + 6 + 5 + 6 = 25,

7 + 3 + 0 + 4 = 14

25 - 14 = 11

En consecuencia, el número dado es divisible por 11.

Existe otro criterio de divisibilidad por 11, cómodo para números relativamente pequeños.

Consiste en que el número que probamos se separa de derecha a izquierda en grupos de dos cifras y se suman estos grupos. Si la suma se divide por 11 sin residuo, el número probado será múltiplo de 11, en caso contrario, no lo será. Por ejemplo, necesitamos probar el número 528. Separamos el número en dos grupos (5 y 28) y los sumamos:

5 + 28 = 33

Como 33 se divide exactamente por 11, el número 528 es múltiplo de 11:

528/11 = 48

Demostremos este criterio de divisibilidad. Dividamos en grupos el número N, que tiene varias cifras. Obtendremos grupo de dos (o de una cifra ^[3] que designaremos de derecha a izquierda con a, b, c, etc., de forma que el número N puede ser e x presado de la forma siguiente:

N = a + 100b + 10.000c +… = a + 100· (b + 100c +…)

Restemos de N el número 99x (b + 100c +…), múltiplo de 11. El número obtenido

a + (b + 100c +…) = a + b + 100· (c +…)

dará, al dividirlo por 11, el mismo residuo que el número N. De este número descontemos el número 99· (c +…), múltiplo de 11, etc.

a + b + c +…