5. Adivinar el día de nacimiento

Las ecuaciones indeterminadas permiten efectuar el siguiente truco matemático. Se propone a una persona que multiplique la fecha del día de su nacimiento por 12, y el número del mes, por 31. Con la suma de los productos de esos datos puede calcularse la fecha del nacimiento de la persona dada. Si por ejemplo nació el 9 de febrero, se efectuarán las siguientes operaciones:

9 x 12 = 108, 2 x 31= 62, 108 + 62 = 170.

¿Cómo se deducirá el día del nacimiento conociendo esa suma?

La tarea se reduce a resolver la ecuación indeterminada

12x + 31y = 170

en la que los valores de las incógnitas deben ser enteros y positivos; además, la fecha del mes, x, no es superior a 31, y el número del mes, y, no pasa de 12

x = 14 - 3 x (2 - 12t₁) + 1 - 5t₁ = 9 + 31t₁

Se sabe que 31 x› 0 y 12 y› 0, por lo que los límites para t₁:

- 9 / 31 ‹t₁ ‹1/ 6

Por lo tanto,

t₁ = 0, x = 9, y = 2

La fecha de nacimiento es el día 9 del segundo mes, es decir, el 9 de febrero. Se puede proponer otra solución que no exige el empleo de ecuaciones. Nos han dicho la cifra a = 12x + 31y. Puesto que 12x + 24y se divide entre 12, en este caso los números 7y y a, después de ser divididos entre 12, tienen residuos iguales. Al multiplicar por 7 resulta que 49y y 7a, después de ser divididos entre 12, tienen residuos iguales. Pero 49y = 48y + y, y 48y se divide entre 12. Resulta que y y 7a al ser divididos entre 12 tienen residuos iguales.

En otras palabras, si a no se divide entre 12, en este caso y es igual al residuo de la división del número 7a entre 12; pero si a se divide entre 12, entonces y = 12. Este número y (número del mes) se determina enteramente. Sabiendo y ya es muy fácil determinar x.

Un pequeño consejo: antes de determinar el residuo de la división del número 7a entre 12, cambie el mismo número a por su residuo de la división entre 12 -será más fácil calcular-. Por ejemplo, si a = 170, usted tiene que efectuar mentalmente los siguientes cálculos:

170 ÷ 12 = 14 sobran 2 (entonces el residuo es 2)

2 x 7 = 14; 14 = 12 x 1 + 2 (entonces y = 2)

entonces

x = 9

Ahora usted puede comunicar que la fecha del nacimiento es el 9 de febrero. Demostremos que el truco nunca falla, es decir, que la ecuación tiene siempre una sola solución, siendo sus valores enteros y positivos. Representemos por a el número que se nos comunica. En este caso, la fecha del nacimiento vendrá expresada por la ecuación

12x + 31y = a.

Razonemos “por reducción al absurdo”. Supongamos que esta ecuación tiene dos soluciones diferentes enteras y positivas, concretamente: la solución x₁, y₁ y la solución x₂, y₂; además, tanto x₁ como x₂ no son superiores a 31; y₁ y y₂ tampoco son mayores que 12. Tenemos:

12x₁+ 31y₁ = a

12x₂+ 31y₂ = a

Restando la segunda ecuación de la primera, tendremos:

12 (x₁ - x₂) + 31 (y₁ -y₂) = 0.

De esta igualdad se desprende que el número 12(x₁ - x₂) es divisible por 31. Como x₁ y x₂, son números positivos que no superan 31, su diferencia, x₁ - x₂ es una magnitud menor que 31. Por eso, el número 12(x₁ - x₂) puede dividirse por 31 sólo cuando x₁ = x₂, es decir, si la primera solución coincide con la segunda. De esta manera, la suposición de que existen dos soluciones diferentes conduce a una contradicción