10. El cambio de las manecillas del reloj

Problema

A. Moshkovski, biógrafo y amigo del famoso físico Albert Einstein, en su deseo de distraer a éste durante su enfermedad, le propuso resolver el problema siguiente (fig. 8):

“Tomemos un reloj - dijo Moshkovski - que tenga las saetas en las 12. Si en esta posición el minutero y el horario cambiaran de función, la hora marcada sería la misma; pero a otras horas, por ejemplo, a las 6 esa permuta de las saetas daría lugar a un absurdo, a una situación que, en un reloj que marchara normalmente no podría producirse; el minutero no puede hallarse en las 6 cuando el horario se encuentra en las 12. De aquí surge la siguiente pregunta: ¿Cuándo y cada cuánto tiempo ocupan las manecillas de un reloj tal posición en la cual al cambiar éstas de función entre sí se producen nuevas situaciones posibles en un reloj normal?

Figura 8

- Sí, contestó Einstein, este problema es muy apropiado para un hombre obligado por su enfermedad a permanecer postrado en el lecho: despierta bastante interés y no es muy fácil. Me temo, sin embargo, que la distracción dure poco tiempo: he dado ya con la forma de resolverlo.

Se incorporó en el lecho y con unos cuantos trazos dibujó en un papel un esquema que reflejaba las condiciones del problema. Einstein no necesitó para resolverlo más tiempo que el que he empleado yo en formularlo…” ¿Cómo se resuelve?

Midamos la distancia que recorren las manecillas, valiéndonos de 60 divisiones de la esfera, a partir de las 12. Supongamos que en una de las posiciones buscadas, el horario se encuentra a x fracciones a partir del número 12, y el minutero, a y divisiones.

Como las 60 fracciones son recorridas por el horario en 12 horas, es decir, a 5 divisiones por hora, entonces, x partes de la esfera serán recorridas por el horario en x/5 horas. Dicho con otras palabras, habrán pasado x/5 horas desde que el reloj dio las 12. El minutero recorre y fracciones en y minutos, es decir, en y/60 horas. Expresado de otro modo: el minutero ha pasado la cifra 12 hace y/60 o al cabo de

x/5 - y/60

horas después de que ambas saetas se encontraban en las doce. Este número es entero (desde el cero al 11), ya que muestra cuántas horas completas han pasado desde las doce.

Al cambiar las manecillas defunción encontraremos por analogía que a partir de las doce habrán pasado

y/5 - x/60

horas completas. Este número también es entero (desde el cero hasta el 11).

Planteamos el siguiente sistema de ecuaciones:

donde m y n son números enteros comprendidos entre el 0 y el 11. En este sistema despejaremos las incógnitas:

x = {60 · (12m + n)}/143

y = {60 · (12n + m)/143

Asignando a m y n un valor comprendido entre 0 y 11 determinaremos todas las posiciones requeridas de las saetas. Como cada uno de los 12 valores que tiene m, puede ser confrontado con cada uno de los 12 de n, quizás parezca que el número de soluciones posibles puede ser 12 * 12 = 144; pero en realidad es igual a 143, porque cuando m = 0, n = 0, y m = 11, n = 11, las manecilla ocupan la misma posición.

Cuando m = 11, n = 11 tenemos: x = 60, = 60, es decir, las manecillas están en las 12, como en el caso de m = 0, n = 0.

No nos detendremos a examinar todas las posiciones posibles; ocupémonos de dos casos:

Primer caso:

m = 1, n = 1; x = 60 · 13/143 = 5 5/11

es decir, señala 1 hora 5/11 minutos; en este momento las manecillas están en el mismo sitio por lo que pueden cambiar de función (como siempre que coincidan).

Segundo caso:

m = 8, n = 5;

x = {60 · (5 + 12 · 8)}/143 ≈ 42.38

y = {90 · (8 + 12 · 5)}/143 ≈ 28.53

Los momentos respectivos serán: las 8 horas y 28,53 minutos y las 5 horas 42,38 minutos.

El número de soluciones, como se indicó ya, es de 143. Para llegar a los puntos de la esfera donde se encuentran las posiciones requeridas de las saetas, hay que dividir la circunferencia de la esfera en 143 partes iguales, obteniendo 143 puntos que son los que buscamos. En los espacios intermedios no hay otras posiciones semejantes de las manecillas.