10. Los números de Pitágoras

El fácil y exacto método que los agrimensores emplean para trazar líneas perpendiculares sobre el terreno consiste en lo siguiente.

Supongamos que por el punto A hay que trazar una perpendicular a MN (fig. 12).

En dirección AM, desde el punto A se señala tres veces la distancia cualquiera (a).

Después, en una cuerda se hacen tres nudos separados por una distancia igual a 4a y 5a. Colocando los nudos extremos en los puntos A y B, se tira del nudo del medio. Con ello se forma un triángulo en el que el ángulo A es recto.

Figura 12

Este antiguo método, empleado ya hace miles de años por los constructores de las pirámides egipcias, se basa en que los triángulos, en los que la relación de sus lados sea 3: 4: 5, de acuerdo con el conocido teorema de Pitágoras serán rectángulos por cuanto:

3² + 4² = 5².

Además de los números 3, 4 y 5 existe, como se sabe, infinidad de números enteros y positivos a, b, c que satisfacen la correlación:

a² + b² = c²

y reciben la denominación de números de Pitágoras. De acuerdo con el teorema de Pitágoras, estos números pueden expresar la longitud de los lados de un triángulo rectángulo. Los lados a y b serán dos “catetos” y c la “hipotenusa”.

Es evidente que si a, b, c son un trío de números de Pitágoras, los números pa, pb, pc (donde p es un factor entero) serán también números de Pitágoras. Y al contrario, si los números de Pitágoras tienen un factor común, pueden ser simplificados por éste, obteniéndose de nuevo el grupo de números de Pitágoras. Por eso, para empezar analicemos tres números pitagóricos que sean primos entre sí (los demás se hallan multiplicándolos por el factor entero p).

Mostremos que uno de los “catetos” de los números a, b, c debe ser número par, y el otro, impar. Razonemos partiendo de la reducción al “absurdo”. Si los dos “catetos” a y b son pares, también lo será la suma a² + b² y, por lo tanto, lo mismo sucederá con la “hipotenusa”. Sin embargo, esto contradice el hecho de que los números a, b, c no tienen un factor común ya que 2 divide exactamente a tres números pares. Por consiguiente, por lo menos uno de los “catetos”, a, b tiene que ser impar.

Puede ofrecerse otra variante, que ambos “catetos” sean impares y la “hipotenusa”, par. No es difícil demostrar que esto es imposible. En efecto. Si los “catetos” tienen la forma:

2x + 1 y 2y + 1

la suma de sus cuadrados será igual a:

4x² + 4x + 1 + 4y² + 4y + 1 = 4(x² + x + y² + y) + 2

es decir, se trata de un número que al ser divido por 4 da de residuo 2. En tanto que el cuadrado de cualquier número par debe dividirse por 4 sin residuo. Por consiguiente, la suma de los cuadrados de dos números impares no puede ser el cuadrado de un número par; en otras palabras: nuestros tres números no son pitagóricos.

Así, pues, de los “catetos” a, b uno es par y otro impar. Por eso, el número a²+ b² es impar y, en consecuencia, también lo será la “hipotenusa” c.

Supongamos, para mayor precisión, que a es el “cateto” impar y b el par.

De la igualdad

a²+ b² = c²

obtenemos fácilmente:

a² = c² - b² = (c + b)(c - b)

Los factores c + b y c - b son primos entre sí. Efectivamente. Si estos números tuvieran algún factor común primo, excepción hecha de la unidad, entonces también se dividiría por dicho factor su suma

(c + b) + (c - b) = 2c,

su diferencia

(c + b) - (c - b) = 2b,

y su producto

(c + b).(c - b) = a²,

es decir, los números 2c, 2b y a tendrían un factor común. Como a es impar este factor no puede ser 2, y por eso, los números a, b y c tienen este factor común, lo que, sin embargo, es imposible. La contradicción obtenida demuestra que los números c + b y c - b son primos entre sí. Pero si el producto de dos números primos entre sí es un cuadrado, entonces, cada uno de ellos será un cuadrado, es decir,

Al resolver este sistema hallamos

a² = (c + b)(c - b) = m² · n², a = mn

De aquí que los números de Pitágoras examinados se representen así:

donde m y n son números impares primos entre sí. El lector puede convencerse fácilmente de lo contrario: las fórmulas citadas, con cualesquiera números m y n impares, dan los números pitagóricos a, b, c. He aquí algunos grupos de números pitagóricos, obtenidos con diferentes valores de m y n:

(Todos los demás grupos de tres números pitagóricos, o tienen factores comunes, o contienen números mayores de 100).

Los números de Pitágoras tienen, en general, propiedades curiosas que enumeraremos a continuación sin demostraciones:

Uno de los “catetos” debe ser múltiplo de tres.

Uno de los “catetos” debe ser múltiplo de cuatro.

Uno de los números de Pitágoras debe ser múltiplo de cinco.

El lector puede convencerse de la existencia de estas propiedades al examinar los ejemplos de grupos de cifras pitagóricas que figuran más arriba.