15. Curiosidades y sorpresas

Hay ocasiones en las que al resolver las ecuaciones tropezamos con soluciones que pueden desconcertar a un matemático poco ducho. Veamos algunos ejemplos:

I. Hallar un número de dos cifras que tenga las siguientes propiedades:

La cifra de las decenas debe ser 4 unidades inferior a la cifra de las unidades. Si ese mismo número se escribe invirtiendo el lugar de sus cifras y se le sustrae el número buscado, se obtiene 27. Expresando el guarismo de las decenas con la x, y el de las unidades con la y, formaremos fácilmente el siguiente sistema de ecuaciones para este problema:

x = y - 4

(10y + x) - (10x + y)

Si el valor que tiene x en la primera ecuación se coloca en la segunda, resultará que

10y + y - 4(10(y - 4) + y) = 27

al operar tendremos que

36 = 27.

No se ha hallado el valor de las incógnitas, pero se ha visto que 36 = 27… ¿Qué quiere decir esto? Esto significa que no existe ningún número compuesto de dos cifras que responda a las condiciones del problema, y que las ecuaciones planteadas se contradicen mutuamente.

En efecto, multipliquemos ambos miembros de la primera igualdad por 9 y tendremos: 9y - 9x = 36, y de la segunda ecuación (después de abrir los paréntesis y reducir los términos semejantes) resulta:

9y - 9x = 27.

Según la primera ecuación 9y - 9x es igual a 36 y de acuerdo con la segunda equivale a 27.

Esto es a todas luces imposible, por cuanto 36 27. Una confusión análoga espera a quien resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

x² · y² = 8,

x · y = 4.

Al dividir la primera ecuación por la segunda obtendremos:

x · y = 2

y si confrontamos la ecuación obtenida con la segunda del sistema veremos que

x · y = 4, x · y = 2,

es decir, que 4 = 2. No hay cifras que satisfagan las condiciones de este sistema.

(Sistemas de ecuaciones, semejantes a los que acabamos de examinar que no pueden ser resueltos, se llaman no combinados.)

II. Si cambiamos un tanto las condiciones del problema anterior recibiremos otra sorpresa.

Supongamos que la cifra de las decenas es menor en 3 unidades que la cifra de las unidades. Las demás condiciones del problema permanecen invariables ¿Cuál será este número? Planteemos la ecuación. Si expresamos la cifra de las decenas con la x, la de las unidades será x + 3. Traduzcamos el problema al idioma del álgebra:

10 · (x + 3) + x - [10x + (x + 3)] = 27.

Al reducir se obtiene 27 = 27.

Esta igualdad es incuestionable, pero nada nos dice de la raíz de x ¿Significa esto que no existe ningún valor que responda a las condiciones del problema?

Por el contrario. Esto se debe a que la igualdad dada es una identidad, es decir, que es cierta cualquiera que sea la magnitud de la incógnita x. En efecto, las condiciones del problema son válidas para todo número compuesto de dos cifras siempre que el guarismo de las unidades sea mayor en 3 unidades que el de las decenas:

14 + 27=41

47 + 27=74

25 + 27=52

58 + 27=85

36 + 27=63

69 + 27=96.

III. Hallar un número de tres cifras que responda a las siguientes condiciones:

1. La cifra de las decenas sea 7;

2. La cifra de las centenas sea inferior en 4 unidades a la cifra de las unidades;

3. Si las cifras del mismo se colocan en orden inverso, el nuevo número será 396 unidades mayor que el buscado.

Formemos la ecuación sustituyendo la cifra de las unidades con la x:

100x + 70 + x - 4 - [100(x - 4) + 70 + x] = 396.

Después de reducida esta ecuación se llega a la igualdad 396 = 396.

Los lectores conocen ya cómo hay que interpretar los resultados de este tipo. Esto significa que un número de tres cifras, en el que la primera es menor que la tercera ^[2] en 4 unidades, aumenta en 396, si se le coloca en orden inverso.

Hasta ahora hemos examinado problemas que tienen un carácter más o menos artificioso y teórico; su misión consiste en contribuir a que se adquiera hábito en el planteamiento y la solución de ecuaciones. Ahora, pertrechados teóricamente, ofreceremos algunos ejemplos relacionados con la producción, la vida cotidiana, y la actividad militar y deportiva.