14. El camino más corto

Resumiendo vamos a ver como se resuelve un problema de «máximos y mínimos», mediante de una construcción geométrica simple.

Se requiere construir un depósito de agua en la orilla de un río, desde el cual llegue el agua a través de tuberías, a los pueblos A y B (figura. 189).

Figura 189. El problema del depósito de agua

¿En que sitio se debe construir el depósito, para que la longitud total de las tuberías desde el depósito hasta ambos pueblos sea mínima?

El problema consiste en hallar el camino más corto desde el punto A hasta la orilla y de ésta hasta el punto B .

Supongamos, que ACB es el camino que se busca (figura 190). Doblamos la figura sobre CN .

Obtenemos el punto B' . Si ACB es el camino más corto, entonces, como CB' = CB , el camino ACB' tendrá que ser más corto que cualquier otro (por ejemplo, de ADB' ).

Figura 190. La solución geométrica de un problema sobre la elección del camino más corto

Entonces, para buscar el camino más corto tenemos que encontrar el punto de intersección C, entre la recta AB' y la línea sobre la orilla. Uniendo C con B , encontramos los dos tramos del camino más corto desde A hasta B .

Trazando por el punto C una perpendicular a CN , podemos ver, que los ángulos ΔACP y ΔBCP, formados por ambos tramos del camino más corto y esta perpendicular, son iguales entre sí.

∠ACP = ∠B'CQ = ∠BCP

Esta es, como bien sabemos, la Ley del rayo de la luz que se refleja en un espejo: "El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión". De aquí se deduce, que un rayo de luz, reflejado elige el camino más corto, conclusión conocida hace dos mil años, por un físico y geómetra, llamado Herón de Alejandría.