8. Con ayuda del espejo

Otro método más para determinar la altura de un árbol emplea un espejo. A cualquier distancia (figura 14) del árbol, colocamos horizontalmente, en el punto C , un espejo sobre un suelo plano y nos alejamos hacia atrás hasta un punto D , en el cual el observador ves la copa A del árbol en el espejo. Por lo tanto la relación entre la altura del árbol AB y la estatura del observador ED , es igual a la relación entre la distancia BC desde el espejo hasta el árbol y la distancia CD desde el espejo hasta el observador. ¿Por qué?

AB : ED = BC: CD

Figura 14. Medición de altura con la ayuda de un espejo

.

El método se basa en la ley de la reflexión de la luz. El punto superior A (figura 15) se refleja en el punto A' así, que AB = A'B.

Figura 15. Construcción geométrica para explicar el método de medición de alturas con ayuda del espejo

Dada la semejanza de los triángulos BCA' y CED se deduce, que:

A'B : ED = BC: CD

En esta proporción solo queda cambiar A'B por su equivalente AB , para argumentar la proporción establecida en el problema.

Este método resulta cómodo en todo momento, pero no es aplicable a un bosque frondoso.

¿Cómo tenemos que proceder cuando no podemos acercarnos al árbol que queremos medir?

Este antiguo problema, tiene unos 500 años. Lo examinó un matemático de la Edad Media, Antonio de Cremona, en su obra "Geodesia Práctica" (año 1400).

El problema se resuelve con la doble aplicación del método anteriormente descrito, poniendo el espejo en dos sitios. Haciendo la construcción correspondiente, no resulta difícil por semejanza de triángulos, deducir que la altura buscada del árbol es igual a la altura del ojo del observador respecto al suelo, multiplicada por la proporción entre la distancia que separa las dos posiciones del espejo y la diferencia entre las dos distancias entre el observador y el espejo correspondientes a los puntos en los que se hizo la medición.

Figura 15a. El espejo se coloca inicialmente en C y luego en F.

Veamos:

Las distancias DE y GH son iguales y corresponden a la altura, h , del observador desde el piso hasta la altura de sus ojos.

La altura del árbol a medir es AB .

La distancia entre el espejo y el observador, para efectuar la primera observación es CD .

La distancia entre el espejo y el observador, para efectuar la segunda observación es FG .

La distancia entre los dos puntos de observación en los cuales se colocó el espejo es: CF .

Se coloca el espejo en un punto C , elegido arbitrariamente, y se aleja el observador del mismo hasta ver reflejada la copa del árbol en él. Se mide la distancia CD .

Se repite el proceso anterior, colocando el espejo en el punto F . Se mide la distancia FG .

Se mide la altura h , del observador, desde sus ojos hasta el piso. Entonces se tiene que:

h = DE = GH

Los triángulos ABC y EDC son semejantes, por tanto se establece la relación:

De igual manera se establece que los triángulos ABF y HGF son semejantes, por tanto se establece la relación:

De la figura I se observa que:

BC + CF = BF Þ CF = BF - BC

Reemplazando en esta igualdad los valores de BF y BC obtenidos antes, se obtiene:

Como:

h = DE = GH

Entonces:

De donde:

Donde AC es la altura buscada.

Antes de terminar nuestro diálogo sobre la medición de los árboles, propongo a los lectores un problema más "en el bosque".

Figura 16. La distancia entre los vértices de los pinos