6. Cuadratura del círculo

No puede ser, que ninguno haya oído hablar alguna vez acerca de la "cuadratura del círculo", aquel famoso problema de geometría, en el que trabajaron los matemáticos, veinte siglos atrás. Estoy seguro, que muchos lectores intentaron resolver este problema. Y más aún, lectores que dudan de la dificultad de este problema clásico, que aún no se ha podido resolver. La mayoría se limita a repetir una y otra vez, que el problema sobre la cuadratura del círculo no tiene solución, sin saber nada acerca de la naturaleza de este problema, ni conocer las dificultades que se presentan para resolverlo.

Las Matemáticas tienen problemas aún más curiosos que la cuadratura del círculo, tanto en la teoría como en la práctica. Pero ninguno ha alcanzado tanta popularidad como este; en busca de su solución han trabajado durante siglos profesionales, matemáticos y aficionados.

"Encontrar la cuadratura del círculo", consiste en dibujar un cuadrado cuya superficie sea equivalente a la de un círculo dado. Este problema se presenta con bastante frecuencia, y se resuelve en la práctica. El famoso problema pide resolverlo dibujando las líneas de la figura con ayuda de dos procedimientos:

Trazar una circunferencia alrededor de un punto.

Trazar una línea recta entre dos puntos.

O sea que se debe trazar la figura, utilizando solamente dos instrumentos: compás y regla.

Entre los matemáticos hay diversidad de opiniones, debido a la dificultad que surge porque la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro (el famoso número π) no se puede expresar mediante un número finito de dígitos. Esto es cierto debido a que la solución de este problema depende de la naturaleza especial del número π. Transformar un rectángulo en un cuadrado con idéntica área constituye una tarea de fácil y rápida solución. El problema de la cuadratura del círculo consiste en construir, con regla y compás, un rectángulo de igual área que el círculo. De la fórmula de la superficie de una circunferencia S = πr² , o (lo que es lo mismo) S = πr x πr , evidentemente, la superficie del círculo es equivalente a la superficie de este rectángulo, donde uno de los lados es r , otro en π r . Entonces se trata de dibujar un segmento, que mida π veces el largo del radio del círculo dado. Se sabe, π no es exactamente equivalente a 3 1/7, ni 3,14, ni tampoco 3, 14159. La serie numérica es infinita.

La irracionalidad del número π, fue estudiada en el siglo XVIII por los matemáticos Lamber y Lejandro. Sin embargo, el hecho de que π fuera irracional, no detuvo los esfuerzos de los matemáticos "cuadraturistas". Ellos sabían, que la irracionalidad por si misma no hacía la tarea desesperada. Existen cantidades irracionales que se pueden "trazar" mediante procedimientos geométricos. Si se requiere dibujar un segmento, que sea veces más largo que un segmento dado. Tanto como π, son irracionales. Sin embargo, nada resulta tan fácil, como dibujar el segmento buscado: Recordaremos, es el lado del cuadrado inscrito en el círculo con radio a . Cualquier alumno dibujará el segmento a√3 (el lado del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia). No se presentan grandes dificultades en la construcción de la expresión irracional (a primera vista muy complicada):

porque se basa en la construcción de 64 lados, es un callejón sin salida.

Como vemos, multiplicador irracional, estado en la expresión, no siempre lo hace esta expresión imposible para construir con el compás y la regla. La insolubilidad de cuadratura del círculo se esconda no totalmente en el π irracional, sino dentro de otra propiedad de este número. Precisamente, la cantidad π no es algebraica, es decir no la podemos obtener como solución de una ecuación con coeficientes racionales. Estos números se llaman "trascendentes"

El matemático de siglo XVI, Viet, demostró, que el número

Esta representación de π resolvería el problema de la cuadratura del círculo, si la serie tuviera una cantidad finita de operaciones (después esta expresión podrá ser construida geométricamente). Pero como se tiene un número infinito de términos con raíz cuadrada, la fórmula de Viet no sirve de ayuda.

La razón por la que no es posible hallar la solución del problema de la cuadratura del círculo se debe a que el número π es "trascendente", es decir que no se puede solucionar la ecuación con coeficientes racionales. En 1889, el matemático alemán Lindeman, estudió esta propiedad del número π. En el fondo, este es el único científico que ha resuelto la cuadratura del círculo, a pesar de afirmar que la solución es de construcción imposible. Por lo tanto, en año 1889 se terminan los esfuerzos realizados durante siglos por los matemáticos en torno al citado problema; pero, por desgracia, mas no terminan los ensayos inútiles de los aficionados que no conocen suficientemente el problema.

Se concluye lo antedicho con base en los avances del tratamiento teórico del problema, pero, ¿qué sucede en la práctica? Esta no requiere una solución exacta de tan famoso problema. La mayoría opina que, la solución del problema de la cuadratura del círculo, quizás tendría gran importancia si no se obtuvieran buenos resultados en la práctica. Pero en su aplicación habitual, basta con tener a disposición métodos aproximados de solución.

Las investigaciones prácticas de la cuadratura del círculo han sido infructuosas desde la época en la que se tenían los primeros 7 ú 8 números exactos de π. Para fines prácticos basta con saber que π = 3,1415926. Ninguna medición de longitud arroja un resultado con más de siete cifras significativas. Por eso carece de importancia tomar π con más de ocho cifras decimales: esto no mejora la exactitud del cálculo.

Si se expresa el radio con siete cifras significativas, la longitud de la circunferencia no tendrá más de siete números, aún en el caso que tomemos su valor con cien cifras significativas.

Por ello, el extenuante trabajo que realizaron los matemáticos antiguos para obtener cada vez un mayor número de cifras significativas, no tiene ninguna importancia práctica. Además carece de utilidad a nivel científico. Solo expresa la paciencia de quienes realizaron los cálculos. Si lo deseas y disponen de mucho tiempo libre, podrán encontrar las primeras 1000 cifras de π, empleando la siguiente serie infinita, encontrada por Leibniz

Un astrónomo, citado anteriormente, Argo, escribió lo siguiente:

"Quienes buscan la cuadratura del círculo siguen dedicando su tiempo a resolver el problema, del cual se ha demostrado que no tiene solución, y si acaso se pudiera realizar, no traería ningún interés práctico. No hace falta ocuparnos de este asunto: Los enfermos del cerebro hacen todo lo posible por descubrir la cuadratura del círculo, pero por desgracia no tiene ningún sentido. Esta enfermedad mental existe de la antigüedad."

Y concluye así su sátira:

"Las academias de todos países, que mantienen en observación a quienes buscan la cuadratura, notan un fenómeno, y es el hecho de que habitualmente, la enfermedad se agudiza, en primavera."