9. El triángulo de mayor superficie

¿Qué forma debe de tomar el triángulo, para que tenga la mayor superficie posible, conocida la suma de sus lados?

Nosotros ya hemos visto anteriormente (ver «Terrenos de otra forma»), que el triángulo equilátero cumple esta propiedad. ¿Pero como podemos demostrarlo?

La superficie S del triángulo con lados a , b , c y con el perímetro a + b + c = 2 p se expresa, como sabemos del curso de geometría, así:

De donde:

La superficie S del triángulo será mayor, cuanto mayor sea su cuadrado S ² , o el término: S ² / p , donde p es el semi-perímetro, y de acuerdo con la condición del problema, es constante. Pero como ambas partes de la igualdad alcanzan simultáneamente el máximo valor, entonces la pregunta se reduce a encontrar que condición debe cumplir el producto:

(p - a) (p - b) (p - c)

para alcanzar el máximo valor. Teniendo en cuenta, que la suma de estos tres factores es constante,

p - a + p - b + p - c = 3p - (a +b + c) = 3p - 2p = p,

concluimos que su producto alcanza el máximo valor cuando los factores son iguales entre sí, es decir, cuando se cumple la igualdad:

p - a = p - b = p - c

de donde:

a = b = c.

En síntesis, un triángulo con un perímetro dado, tendrá la máxima superficie posible, cuando sus lados sean iguales entre si.