12. El problema del tornero

A un tornero le han dado un cono y le han encargado tornear un cilindro, gastando la menor cantidad posible de material (figura 184). El tornero comenzó meditar sobre la forma del cilindro buscado: haciéndolo más alto, pero angosto (figura 185, a la izquierda), y viceversa, más ancho, pero más bajo (figura 185, a la derecha). Al final no pudo resolver el problema. ¿Cómo debería actuar el tornero?

Figura 184. El problema del tornero

Figura 185. De un cono es posible tornear un cilindro alto y angosto, o ancho y bajo. ¿En qué caso se gastará menos material?

Figura 186. Sección cónica y cilíndrica

El problema requiere de la geometría. Sea la sección cónica ABC (figura 186), BD , su altura, la que llamaremos h ; El radio de su base AD = DC , le llamaremos R . El cilindro, que podamos tornear del cono, tiene la sección MNOP . Debemos encontrar a qué distancia BE = x , del vértice B , debe quedar la base superior del cilindro, para que alcance el máximo volumen posible.

El radio del cilindro (PD o ME ) se encuentra fácilmente, mediante la proporción:

es decir:

de donde:

La altura del cilindro, ED , es h - x . Por lo tanto su volumen es:

de donde:

En la expresión:

Los valores hπ y R son constantes y solamente v es variable. Queremos hallar el valor de x , con el cual v se hace máximo. Pero, evidentemente, v será máximo cuando

sea máximo, es decir, cuando sea máximo: x ² (h - x ).

¿Cuándo alcanzará esta última expresión su máximo valor? Aquí tenemos los tres factores variables x , x y (h - x ). Si su suma fuera constante, entonces el producto seria máximo, cuando los factores fueran iguales entre sí. Fácilmente conseguimos que esta suma sea constante, si multiplicamos por 2, ambas partes de la última igualdad. Veamos:

Ahora tres factores de la parte derecha tienen la suma constante

x + x + 2h - 2x = 2h

Por lo tanto, su producto tomará el máximo valor, cuando todos los factores sean iguales, es decir, cuando:

x = 2 h - 2 x

x = 2 h /3

Entonces, la expresión:

Logrará su máximo valor, y también alcanzará su máximo valor el volumen del cilindro v .

Ahora sabemos, como se debería tornear el cilindro: su base superior debe estara una distancia del vértice del cono igual á 2/3 de su altura.