8. La bola "inteligente"
Una sencilla construcción geométrica nos ayudó a resolver el problema de la bola de billar, y sería mejor si la misma bola resuelve un problema muy antiguo y bastante curioso.
¿Será posible? - una bola no puede pensar. Es cierto, pero en aquellos casos, en que se debe realizar una serie de cálculos, conociendo además, que operaciones se deben efectuar y que orden deben seguir, se pueden emplear una máquina, que obedezca todas las ordenes de forma rápida y correcta.
Por esta razón se han inventado muchos mecanismos, que van desde un sencillo aritmómetro hasta una calculadora electrónica.
En ratos de ocio, a menudo nos ocupamos de un problema: Como verter una parte de líquido que contiene un recipiente de determinada capacidad, con ayuda de dos vasos vacíos, de capacidad conocida.
Aquí tienen un problema similar:
¿Cómo verter la misma cantidad de un tonel de 12 cántaros de capacidad, con ayuda de dos cubos que tienen nueve cántaros y cinco cántaros de capacidad, respectivamente?
Para resolver este problema, por supuesto, no hace falta experimentar con estos cubos.
En un papel podemos efectuar todos lo "trasiegos" necesarios, con ayuda de este esquema:
"Ведерн" significa "cántaro", antigua medida rusa de capacidad, equivalente a unos 12 litros
En cada columna se indican los resultados del trasiego.
Primera columna: Llenaron el tonel de 5 cántaros, el de 9 cántaros permanece vacío (0 ), al de 12 cántaros le queda 7 cántaros .
Segunda columna: Hay que verter los 7 cántaros del tonel de 12 cántaros al de 9 cántaros , y así sucesivamente.
El esquema tiene nueve columnas; Entonces se necesitan nueve trasiegos. Intenten hallar su propia solución a este problema, teniendo su propio orden de trasiegos.
Después de que realicen sus pruebas, se darán cuenta de que el esquema propuesto no es único, sin embargo, al variar el orden, se requieren más de nueve trasiegos.
Además de esto, se puede establecer lo siguiente:
No se puede fijar el orden de los trasiegos para cada caso, independientemente de la capacidad de los cubos;
Con ayuda de dos cubos vacíos, es posible verter en un tercer cubo, una determinada cantidad de líquido, así, por ejemplo, desde el tonel de 12 cántaros con ayuda de cubos de 9 y 5 cántaros trasiegan un cántaro o dos, o tres, o cuatro, etc., hasta 11.
Figura 151. El "mecanismo" de la bola "inteligente".
La bola "inteligente" responderá todas estas inquietudes, si construimos una "mesa de billar" muy especial.
Dibujamos en el papel cuadros inclinados (rombos) iguales con ángulos agudos de 60°, y se construye una figura OADCB , como se muestra en la figura 151.
SI en nuestra mesa "mesa de billar", empujamos la bola de billar a lo largo de OA , ésta choca con el borde AD y de acuerdo a la ley de incidencia y reflexión, "el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión" ( ∠ OAM = ∠ Mac 4 ), la bola corre sobre la recta Ac 4 uniendo los vértices de los rombos pequeños; se separa en el punto c 4 del borde BC y corre sobre la recta c 4 a 4 , luego sobre las rectas a 4 b 4 , b 4 d 4 , d 4 a 8 , etc.
De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos tres cubos: de 9 , 5 y 12 cántaros. Por esta razón, construimos la figura de modo que el lado OA tenga nueve cuadros, OB , cinco cuadros, AD , tres cuadros (12 - 9 = 3), BC , siete cuadros (12 - 5 = 7).
Hay que tener presente que cada punto de la figura está separado de los bordes de ésta, por una cantidad de cuadros dados, en relación a los lados OB y OA . Por ejemplo, desde el punto c 4 , hay cuatro cuadros hasta OB y cinco cuadros hasta OA ; Desde el punto a 4 hay cuatro cuadros hasta OB y cero cuadros hasta OA (porque está precisamente sobre OA ), desde el punto d 4 hay ocho cuadros hasta OB y cuatro cuadros hasta OA , y así sucesivamente.
Por lo tanto, cada punto de la figura, con el que choca la bola, representa dos números.
El primero de ellos, corresponde a la cantidad de cuadros que separan al punto de OB , representa la cantidad de cántaros del cubo de 9 cántaros , y el otro, corresponde a la cantidad de cuadros que separan al punto de OA , representa la cantidad de cántaros del cubo de 5 cántaros. El resto del líquido, corresponde evidentemente, al cubo de 12 cántaros.
Ahora tenemos todo listo para resolver el problema con ayuda de la bola.
Dejamos pasar a lo largo de OA y traduciendo cada punto de su golpe al borde así, como esta indicando, observándola su camino hasta el punto a 6 (figura 151).
El primer punto del choque es: A (9; 0); Esto significa, que el primer trasiego tiene que dar esta distribución del líquido:
9 cántaros 9
5 cántaros 0
12 cántaros 3
Se efectúa el vaciado.
El segundo punto del choque: c 4 (4; 5); Esto significa, la bola entrega el siguiente resultado de trasiego:
9 cántaros 9 4
5 cántaros 0 5
12 cántaros 3 3
Se efectúa el vaciado.
El tercer punto del choque: a 4 (4; 0); en el tercer trasiego la bola recomienda devolver cinco cántaros al cubo de 12 cántaros:
9 cántaros 9 4 4
5 cántaros 0 5 0
12 cántaros 3 3 8
El cuarto punto: b 4 (0; 4); es el resultado del cuarto trasiego:
9 cántaros 9 4 4 0
5 cántaros 0 5 0 4
12 cántaros 3 3 8 8
El quinto punto: d 4 (8; 4), la bola recomienda llenar con ocho cántaros el cubo vacío de 9 cántaros.
9 cántaros 9 4 4 0 8
5 cántaros 0 5 0 4 4
12 cántaros 3 3 8 8 0
Seguimos analizando la trayectoria de la bola, y obtenemos la tabla:
9 cántaros 9 4 4 0 8 3 3 0 9 7 7 2 2 0 9 6 6
5 cántaros 0 5 0 4 4 5 0 3 3 5 0 5 0 2 2 5 0
12 cántaros 3 3 8 8 0 4 9 9 0 0 5 5 10 10 1 1 6
Entonces, después de esta serie de trasiegos se completa la tarea: Dentro de dos cubos hay seis cántaros de líquido. ¡La bola ha resuelto el problema!
Pero la bola no parece muy inteligente.
Ha resuelto el problema en 18 pasos, y nosotros necesitamos solamente 9 pasos (ver la primera tabla).
Sin embargo la bola también podrá abreviar el número de trasiegos. Se empuja sobre OB , se detiene en el punto B , luego se empuja sobre BC , y se mueve una y otra vez, según lo establecido por la ley de incidencia y reflexión: "el ángulo de incidencia es igual al ángulo reflejado"; y así se obtiene la serie más corta posible de trasiegos.
Dejando que se mueva la bola desde el punto a 6 , entonces no es difícil comprobar, que en el caso estudiado, recorre todos los puntos de la figura (y en un comienzo, todos los vértices del rombo) y luego vuelve de partida, O . Esto quiere decir que con el cubo de 12 cántaros se puede vaciar una fracción entera de su contenido, (entre uno y nueve cántaros) al cubo de 9 cántaros , y (entre uno y cinco cántaros) al cubo de 5 cántaros .
Pero puede no tener solución un problema similar.
¿Cómo lo detecta la bola?
Muy fácil: en este caso vuelve al punto de partida, O , sin chocar el punto fijo.
En la figura 152 se presenta el mecanismo de solución para los cubos de nueve, siete y doce cántaros.
Figura 152. "El mecanismo" indica, que del cubo lleno, de 12 cántaros, no es posible verter la mitad en cada cubo de 9 y 7 cántaros
"El mecanismo" indica, que desde un cubo lleno de 12 cántaros con ayuda de dos cubos vacíos de 9 cántaros y 7 cántaros respectivamente, es posible verter cualquier cantidad de los cántaros, menos la mitad de su contenido, es decir menos de seis cántaros.
En la figura 153 se presenta el mecanismo de solución para cubos de tres, seis y ocho cántaros. Aquí la bola hace cuatro saltos y vuelve al punto principal O.
Figura 153. "El mecanismo" de solución de una tarea más.
6 cántaros 6 3 3 0
3 cántaros 0 3 0 3
8 cántaros 2 2 5 5
La tabla indica que en este caso no es posible verter cuatro cántaros o un solo cántaro desde un cubo de 8 cántaros.
Por esto, nuestro "billar con una bola inteligente" es en realidad una calculadora, excelente para resolver problemas de trasiegos.