10. La viga más pesada

De un madero de forma cilíndrica se necesita aserrar una viga que tenga el máximo peso posible. ¿Cómo debemos proceder?

EL problema, evidentemente, se expresa inscribiendo un rectángulo de máxima superficie dentro de un círculo. Aunque nuestros lectores estén preparados a contestar, que ese rectángulo debe ser un cuadrado, hay que demostrarlo. Llamemos x , a un lado del rectángulo buscado (figura 180); el otro se define como:

donde R es el radio del corte circular del madero.

Figura 180. El problema de la viga de mayor peso posible.

La superficie del rectángulo es:

de donde:

Como la suma de los factores x ² y 4 R ² - x ² es un valor constante (x ² + 4 R ² - x ² = 4 R ² ), entonces su producto S ² alcanza el máximo valor cuando x ² = 4 R ² - x ² , es decir que

Este rectángulo alcanza el máximo valor de S , la superficie del rectángulo buscado.

O sea que, uno de los lados del rectángulo de máxima superficie es

es decir, que esta medida corresponde al lado del cuadrado inscrito. La viga alcanza el máximo volumen posible, cuando su corte cuadrado está inscrito dentro del madero cilíndrico.

Figura 181. Dentro del triángulo hay que inscribir el rectángulo de mayor superficie posible. Sea el triángulo ABC (figura 181), y MNOP - el rectángulo que debe quedar después del corte.