11. De un triángulo de cartón

Tenemos un pedazo de cartón de forma triangular. Necesita cortar de forma paralela a su base y a su altura, el rectángulo que tenga la mayor superficie posible.

Como ABC y NBM son triángulos semejantes, tenemos:

De donde:

Llamando y a NM , uno de los lados del rectángulo buscado, x a su distancia BE , desde el vértice del triángulo, a a la base AC , del triángulo, y h a su altura BD , escribimos la fórmula anterior así:

La superficie S del rectángulo buscado MNOP es:

Por lo tanto:

S será la mayor superficie posible, cuando el producto Sh/a alcance el máximo valor posible, es decir, cuando el producto de los factores (h - x ) y x sea máximo. Pero la suma h - x + x = h , es constante. Entonces, su producto es máximo, cuando:

h - x = x ,

De donde:

x = h/2

Ahora sabemos, que el lado NM del rectángulo buscado pasa a través de la mitad de altura del triángulo y, por lo tanto, se une los puntos medios de sus lados. Entonces, Los lados del rectángulo miden a /2, y h /2.

Un hojalatero tuvo que fabricar a partir de un pedazo cuadrado de hojalata de 60 cm de ancho, una caja con el fondo cuadrado, sin tapa, y con una condición: La caja debería tener la máxima capacidad posible.

Figura 182. El problema de hojalatero

El hojalatero pasó bastante tiempo buscando el ancho de los bordes, pero al final no pudo hallar la solución correcta (figura 182).

¿Será que el lector pueda sacar a nuestro hojalatero de esa dificultad?

Sea x , el ancho de los dobleces de los lados (figura 183). Luego el ancho del fondo cuadrado será 60 - 2 x ; el volumen v de la caja se expresará mediante el producto

v = (60 - 2x)(60 - 2x)x.

¿Qué valor de x dará a este producto el máximo valor?

Figura 183. Solución de problema del hojalatero

Si la suma de los tres factores es constante, el producto toma su máximo valor cuando dichos factores son iguales. Pero aquí la suma de los factores es

60 - 2x + 60 - 2x + x = 120 - 3x

no es constante, porque varía con x . Sin embargo no es difícil conseguir que la suma de los tres factores sea constante: Para esto basta multiplicar ambas partes de la igualdad, por 4. Obtenemos así:

4v = (60 - 2x) (60 - 2x) 4x.

La suma de los factores es equivalente a:

60 - 2x + 60 - 2x + 4x = 120,

una cantidad constante. Entonces, el producto de estos factores consigue su máximo valor cuando:

60 - 2x = 4x,

de donde:

x = 10.

Por lo tanto, el volumen v alcanza su máximo valor. Entonces, la caja tendrá el máximo volumen posible, si doblamos a cada lado, 10 cm de hojalata. La caja tendrá un volumen de 40 x 40 x 10 = 16.000 cm ³ . Si doblamos los bordes de la hoja, un centímetro más o un centímetro menos, disminuimos el volumen de la caja. Veamos:

9 x 42 x 42 = 15900 cm 3 ,

11 x 38 x 38 = 15900 cm ³ ,

como vemos, ambos valores son menores que 16.000 centímetros cúbicos