6. La división de una circunferencia

Los radioaficionados, los constructores, los diseñadores y también los aficionados a las manualidades a veces se quedan pensando en un problema.

Cortar de una placa para formar un polígono de una cantidad dada de lados. La tarea se expresa de la siguiente forma: dividir la circunferencia en n partes iguales, donde n es el número entero.

Dejaremos a un lado el uso del transportador y "el tanteo a ojo" para resolver este problema, por lo tanto, pensaremos en la solución geométrica: con ayuda del compás y la regla.

En un comienzo surge la pregunta: ¿Teóricamente, en cuántas partes se puede dividir exactamente una circunferencia, con ayuda del compás y la regla? Los matemáticos resolvieron este problema, pero solo para ciertos valores.

Se puede dividir exactamente la circunferencia en 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17…, 257,… partes.

No se puede dividir exactamente la circunferencia en 7, 9, 11, 13, 14… partes.

Además, no existe un método único de construcción. La forma en que se divide la circunferencia en 15 partes no es igual a la forma en que se divide en 12 partes, etc.; por esta razón, resulta imposible recordar todos los métodos.

Precisamente hay un método geométrico práctico, aunque aproximado, pero bastante simple para dividir una circunferencia en cualquier cantidad de arcos iguales.

Desafortunadamente los manuales de geometría no prestan atención a este asunto, por eso hemos preparado un método aproximado y curioso para resolver geométricamente este problema.

Si se requiere, por ejemplo, dividir en nueve partes iguales, la circunferencia dada (figura 148).

Figura 148. El método geométrico para dividir la circunferencia, de manera aproximada, en n partes iguales

Sobre un diámetro AB de la circunferencia, construimos un triángulo equilátero ACB y dividimos ese diámetros por el punto D de forma que AD : AB = 2:9 (en el caso general AD : AB = 2: n ).

Unimos los puntos C y D con un segmento de recta y lo prolongamos hasta que corte la circunferencia en el punto E . El arco AE medirá aproximadamente 1/9 de la circunferencia (en el caso general AE = 360°/ n , o sea que, la cuerda AE será un lado del polígono inscrito de 9 lados ( n -ágono).

El error relativo es 0,8%.

Si se expresa la relación entre el valor del ángulo central, ∠ AOE , (figura 148), y el número de divisiones, n , se obtiene la siguiente fórmula:

para valores grandes de n , se puede sustituir por una fórmula aproximada:

Por otra parte la división exacta del ángulo central de la circunferencia, en n partes iguales, tiene que ser 360°/ n . Comparando el ángulo 360°/ n con el ángulo ∠ AOE , obtenemos el error cometido, tomando el arco AE como parte de la circunferencia.

Acá tenemos la tabla para algunos n significativos:

Como vemos en la tabla, con el método indicado se puede dividir la circunferencia en 5, 7, 8 ó 10 partes con un margen de error que oscila entre 0,07% y 1%; Este error es admisible para la mayor parte de los trabajos prácticos. Al aumentar el número de divisiones, n , se reduce la exactitud, es decir, que aumenta el error relativo, pero, los análisis muestran que, para cualquier n el error no supera el 10%.