(Un problema del León Tolstoi)

"- ¿A que precio queda? - dice Pajom.

- Tenemos un único precio: 1.000 rublos por día.

Pajom no había entendido.

- ¿A cuánto equivale esta medida por día? ¿Cuántos diezmos (Diezmo; Diesiatina, es la antigua medida rusa de los terrenos, equivalente a 109 Ha) por día serán?

- Nosotros no sabemos contarlos, dice. Nosotros vendemos al día. Cuánta tierra dejes atrás durante el día, será toda tuya, y su precio son 1.000 rublos.

Se extrañó Pajom.

- Pero sería mucha tierra durante un día, dice.

El jefe sonríe.

- Toda tuya, pero a condición de que si no vuelves antes de la puesta del sol al sitio de donde partiste, pierdes tu dinero.

Figura 173. «Pajom corre al máximo de sus fuerzas, mientras que el sol se acerca al horizonte»

- ¿Pero, dice Pajom, cómo voy a marcar por donde pasé?

- Nosotros estaremos en el sitio que más te guste; nos quedaremos quietos mientras que tú caminas, hazlo en círculo, coge un rascador y marca donde sea necesario, haciendo hoyos en las esquinas; luego pasaremos con el arado, de una esquina a otra.

Cualquier círculo es tuyo, la única condición es que, antes de la puesta del sol tendrás que regresar al punto de partida. Todo lo que dejes atrás será tuyo.

Los baskirios se fueron. Prometieron volver al mismo sitio, al amanecer del día siguiente.

Todos llegan al amanecer. El jefe se acerca e indica con la mano a Pajom:

- Todo lo que ves alrededor es mío, le dice. Elige cualquier lugar.

El jefe pone su gorra de piel de zorro en la tierra.

- Aquí estaré esperándote, dice, esta será la primera marca. Parte desde aquí y vuelve aquí. Todo lo que dejes atrás, tuyo será.

Con el primer rayo de sol, Pajom se echa al hombro el rascador y comienza su viaje por la estepa.

Cuando se ha alejado una versta, se para y hace un hoyo. Se aleja todavía más y hace otro hoyo.

Ha dejado atrás cinco verstas. Mira al sol, es la hora del desayuno. "Dejé un atelaje, pensó Pajom. Durante el día hay cuatro, aun es pronto para girar… Voy a recorrer a otras cinco más; luego giraré a la izquierda…» y sigue su marcha en línea recta.

«Ahora, piensa, en este lado he cogido demasiado; Tengo que girar» Se paró, excavó otra vez un hoyo y volteó a la izquierda.

Se aleja bastante en la misma dirección, y llega a la otra esquina. Echa un vistazo a la colina; se marea por el calor que hace, a lo lejos se ve la gente. «Ahora, piensa, he cogido un lado muy largo, ahora tomaré un poco menos». Inicia el recorrido por el tercer lado. Mira al sol, se acerca el mediodía, sobre tercer lado recorre solamente dos verstas. Y hasta el punto de partida le quedan 15 verstas. «No, piensa, aunque salga un terreno irregular, tengo que llegar a tiempo».

Pajom excava un hoyo y hace el último giro, caminando hacia la colina.

Camina en línea recta hasta la colina y de pronto empieza a sentirse mal. Necesita tomar un descanso, pero no puede, no llegará antes de la puesta de sol. El sol se acerca al horizonte.

Pajom sigue caminando; es difícil para él, pero se apura aún más. Camina y camina, aún está lejos el sitio de llegada; trota… corre, la camisa y el pantalón se pegan a su cuerpo por el sudor y su boca está seca.

El pecho se hincha como fuelle de fragua, el corazón late como martillo.

Corre Pajom, gastando sus últimas fuerzas, y el sol se acerca más y más al horizonte.

Pronto se ocultará el sol (figura 173).

El sol está cerca y el sitio tampoco está lejos. Ve la gorra de piel de zorro sobre la tierra y el jefe está sentado en el suelo.

Pajom ve como el sol toca la tierra, y poco a poco empieza a desaparecer.

Pajom hace un mayor esfuerzo, suspira, sube a la colina. Ve la gorra. Se le doblan las piernas y cae al suelo; con sus manos sudorosas, toca la gorra.

- ¡Qué muchacho! - grita el jefe: - ¡Cuanta tierra ha ganado!

Se acerca un trabajador, quiere ayudarle a levantarse, pero ve sangre en su boca, el hombre está muerto…"

Dejemos a un lado el triste final de esta historia y vamos a examinar la parte geométrica de este relato. ¿Podemos encontrar con los datos dispersos por todo el texto, cuántos diezmos de tierra ha recorrido Pajom? La tarea, a simple vista, parece inconclusa; sin embargo, se resuelve de manera bastante simple.

Leemos de nuevo la historia prestando mucha atención a los detalles, y obtenemos los datos geométricos; fácilmente nos damos cuenta de que los datos obtenidos son suficientes para responder la pregunta.

Podemos dibujar el plano del terreno recorrido por Pajom.

En primer lugar, está claro, que Pajom ha caminado sobre los lados de un rectángulo. Sobre el primer lado leemos:

"He dejado atrás cinco verstas… Voy a pasar a otros cinco más; luego tomaré a la izquierda…"

Figura 174. El camino de Pajom

Entonces, el primer lado del rectángulo tenía una longitud de unas 10 verstas.

Sobre el segundo lado, en ángulo recto con el primer lado, no se dice nada.

El tercer lado, evidentemente, es perpendicular al anterior, se dice a continuación: «Sobre tercer lado recorre solamente dos verstas».

Se conoce, por supuesto, la cuarta parte del rectángulo: «Y hasta el punto de partida le quedan 15 verstas.».

Con estos datos podemos dibujar el plano del terreno recorrido por Pajom (figura 174). En el rectángulo obtenido ABCD se tiene: lado AB = 10 verstas; CD = 2; AD = 15 verstas; Los ángulos B y C , son rectos.

La longitud x del lado incógnito BC se calcula fácilmente, si pasamos desde D una perpendicular DE hacia AB (figura 175).

Figura 175. Especificación del camino.

En el triángulo rectángulo AED conocemos un cateto AE = 8 verstas y la hipotenusa AD = 15 verstas. El cateto desconocido mide:

Entonces el segundo lado tiene 13 verstas de longitud. Evidentemente, Pajom se equivocó, al tomar el segundo lado más corto que el primero.

Como vemos, al dibujar el plano de aquel terreno, vemos el recorrido real que efectuó Pajom.

Con toda seguridad podemos afirmar que Tolstoi tenía frente a él una ilustración semejante a la que se muestra en la figura 174, cuando estaba escribiendo esta historia.

Ahora resulta fácil a encontrar la superficie del trapecio ABCD , formado por el rectángulo EBCD y por el triángulo rectángulo AED . Esta es:

El cálculo sobre la fórmula del trapecio nos arroja el mismo resultado:

Encontramos que Pajom recorrió un extenso terreno con una superficie de 78 verstas cuadradas, unos 8.000 diezmos. Un diezmo era equivalente á 12 kopeks.