7. Triángulo de Bingo
Examinaremos una de las soluciones aproximadas del problema de la cuadratura del círculo, más empleadas en la vida práctica.
El método consiste en calcular (figura 125) el ángulo á , formado por el diámetro AB , y la cuerda AC = x , que corresponde al lado del cuadrado buscado.
Figura 125. Un modo del ingeniero ruso de Bingo (1836)
Para averiguar el valor de este ángulo, echamos mano de la trigonometría:
donde r es el radio del círculo.
Entonces, un lado del cuadrado buscado x = 2 r x cos a , su superficie es 4 r 2 x cos 2 a . Por otro lado, la superficie del cuadrado, π r 2 , es la superficie del círculo correspondiente. De aquí se deduce que,
de donde:
En las tablas encontramos:
α = 27º 36'.
Entonces, trazando en el mismo círculo, una cuerda que forme un ángulo de 27º 36' con el diámetro, obtenemos inmediatamente un lado del cuadrado, con una superficie equivalente a la del círculo.
En la práctica se hace así: construye una escuadra, en la cual uno de los ángulos agudos mide 27º 36' (el otro, 62º 24'). Con esta escuadra, podemos encontrar un lado del cuadrado de igual área que un determinado círculo.
Para quienes quieran construir esta escuadra resultan útiles las siguientes instrucciones:
Como la tangente de 27º 36' es equivalente a 0,523, o 23/44, los catetos de este triángulo están en la proporción de 23/44. Si por ejemplo, construimos la escuadra de modo que uno de los catetos mida 22 cm, y el otro, 11,5 cm, tenemos el instrumento que se requiere. Esta escuadra se usa igual que las demás.