5. Las figuras con mayor superficie
Podemos demostrar geométricamente, que el polígono regular que tenga mayor cantidad de lados, alcanza la mayor superficie posible, que los demás polígonos de igual perímetro. La circunferencia encierra la mayor superficie posible para un perímetro dado. Si Pajom hubiera caminando en círculo, recorriendo las mismas 40 verstas, hubiera conseguido un terreno de:
Con la mayor superficie posible para un perímetro dado, a la circunferencia no le gana ninguna otra figura, igual si es rectilínea o curvilínea.
Permítanme detenerme un poco más en esta sorprendente propiedad del círculo, como es la de abarcar dentro de sus límites mayor superficie que cualquier otra figura, teniendo el mismo perímetro. Puede ser, que algunos lectores tengan curiosidad de saber de qué manera se demuestran casos semejantes. La demostraremos a continuación. En verdad, la demostración de esta propiedad del círculo no es clásica, la presenta el matemático Yakov Shteyner. El texto es bastante largo, y si ustedes lo encuentran demasiado molesto, pueden saltarlo, sin preocuparse por no entender la siguiente parte.
Se necesita demostrar, que la figura que encierra la máxima superficie con un perímetro dado, será el círculo. Ante todo, establecemos que la figura buscada tiene que ser convexa.
Esto significa, que cualquier cuerda debe estar dentro de la figura.
Tenemos una figura AaBC (figura 176), que tiene la cuerda externa AB . Cambiaremos la cuerda a por la cuerda b , simétricas entre sí. Con este cambio el perímetro de figura ABC no varía, pero aumenta su superficie. No pueden existir figuras como AaBC que tengan máxima superficie con idéntico perímetro.
Figura 176. Ordenamos, que la figura con mayor superficie debe ser convexa también y la superficie
Figura 177. Si la cuerda divide por la mitad el perímetro de una figura convexa de mayor superficie, también corta por la mitad su superficie.
O sea, que la figura buscada es convexa. Podemos establecer otra propiedad más de esta figura: Cualquier cuerda, que divida su perímetro a la mitad, también corta por la mitad su superficie. Sea la figura AMBN (figura 177), tal que la cuerda MN divide su perímetro por la mitad. Demostremos, que superficie AMN es igual a la superficie MBN . Si asumimos que una de estas dos figuras tiene mayor superficie que la otra, por ejemplo, AMN › MNB , al doblar la figura AMN , se obtiene otra figura de mayor superficie que la de la figura inicial AMBN , ambas con igual perímetro. Por lo tanto, no es posible que la figura AMBN , en la cual la cuerda corta el perímetro por la mitad, divida la superficie en dos partes de diferente área (es decir, que no puede tener mayor superficie con igual perímetro).
Antes de seguir adelante, demostraremos el siguiente teorema adicional: De todos los triángulos con dos lados conocidos, tendrá mayor superficie, el que forme con sus lados un ángulo recto. Para demostrar esto, recordamos la expresión trigonométrica para la superficie S del triángulo de lados a y b y ángulo C entre ellos:
Esta expresión alcanza el máximo valor cuando el sen(C) tome su máximo valor, es decir, cuando sea igual a uno. Pero el ángulo cuyo seno es 1 , es el ángulo recto. Es lo que queríamos demostrar.
Figura 178. Supongamos la existencia de una figura convexa, que no es un círculo, con la mayor superficie.
Ahora podemos empezar a resolver el problema principal, demostrando que de todas las figuras con perímetro p, la de mayor superficie es la circunferencia. Para demostrarlo, admitimos la existencia de una figura convexa, no circular, MANB (figura 178), que tiene esta propiedad. Pasamos por ella una cuerda MN , de modo que MK'N sea simétrica a MKN . Observamos, que la figura MNK'M tiene el mismo perímetro y la misma superficie, que la figura inicial MKNM
Figura 179. Establecemos que de todas las figuras con un perímetro dado, la de mayor superficie es la circunferencia
Como la cuerda MKN no es la mitad de una circunferencia, habrán algunos puntos de ella, desde los cuales no forman un ángulo recto, los segmentos trazados desde dichos puntos hasta los extremos del segmento MN . ES decir que, si el punto K' , es simétrico al punto K , los ángulos K y K' no son rectos.
Alejando o acercando los lados MK , KN , MK' , NK' , podemos formar entre ellos un ángulo recto y obtenemos triángulos rectángulos equivalentes. Colocamos estos triángulos unidos por sus hipotenusas, como se observa en la figura 179, y unimos sus extremos a las áreas sombreadas. Obtenemos la figura M'KN'K' , con igual perímetro que la figura inicial, pero con mayor superficie (porque los triángulos rectángulos M'KN' y M'K'N' tienen mayor superficie, que los no rectángulos MKN y MK'N ). Entonces, ninguna figura fuera del círculo, puede tener la máxima superficie con el mismo perímetro.
Sustentando lo antedicho, hemos demostrado que el círculo es la figura que tiene la máxima superficie, con un perímetro dado.
Es fácil demostrar la validez de esta propiedad: De todas las figuras de igual superficie, el círculo es el que tiene menor perímetro. Podemos observar que se pueden aplicar al círculo todos los argumentos que usamos antes para el cuadrado (ver «Una propiedad excelente del cuadrado»)