14. Un problema sobre la corneja prudente
Nuestros manuales escolares tienen la historia de "la corneja prudente".
Esta antigua historia cuenta que una corneja muerta de sed encontró un jarro con agua.
Había muy poca agua en el jarro, y con el pico no pudo alcanzarla, pero se le ocurrió una solución a la corneja. Comenzó a tirar los pedruscos en el jarro. Como resultado de esta argucia, subió el nivel del agua hasta el borde, y la corneja pudo tomársela.
No vamos a discutir acerca de si existe o no una corneja tan inteligente. De este problema nos interesa el enfoque geométrico. Nos da motivos para resolver el siguiente problema,
¿Pudo tomar agua la corneja, si el agua llegaba hasta la mitad del jarro?
Analizando este problema comprobaremos que el procedimiento empleado por la corneja, puede funcionar o no, dependiendo del nivel inicial de agua en el jarro.
Para simplificar los cálculos, supondremos que el jarro tiene forma de prisma rectangular, y los pedruscos tienen formas esféricas de igual tamaño. Se comprende fácilmente, que el agua sobrepasa el nivel de los pedruscos, siempre que la cantidad de agua que hay dentro del jarro tenga mayor volumen que los intersticios entre los pedruscos: En este caso, el agua llenará los espacios y brotará sobre los pedruscos. Vamos a calcular el volumen que ocupan estos intersticios. Para facilitar el cálculo, asumiremos que los pedruscos están dispuestos de modo tal que sus centros está situados sobre una recta vertical.
Sea d - diámetro de un pedrusco, por lo tanto, su volumen es: 1/6 x π d 3 , la fracción cúbica, del volumen del jarro, que contiene el pedrusco, es: d 3 . La diferencia entre sus volúmenes es: d 3 - 1/6 π d 3 que corresponde a la parte vacía del cubo, y se obtiene el valor:
Lo que significa que la parte vacía de cada fragmento cúbico del jarro corresponde a 0,48 partes de su volumen. La suma de los volúmenes de todos los intersticios del volumen del jarro da este mismo valor, es decir, un poco menos de la mitad del volumen total. El resultado no varía, si se cambia la forma del jarro y también la forma de los pedruscos. En general podemos afirmar, que si el agua contenida en el jarro, no llega inicialmente a la mitad de su volumen, la corneja no podrá subir el nivel del hasta el borde, tirándole pedruscos.
Si la corneja fuera tan fuerte que pudiera pulverizar y compactar los pedruscos, podría subir el agua al doble de su nivel inicial. Pero de acuerdo con las condiciones del problema, la corneja no logra hacer esto y coloca cada pedrusco sobre otro. Además de esto, usualmente los jarros son más anchos en el centro, lo que reduce el nivel al que sube el agua y comprueba que nuestra conclusión es correcta: Si el agua estaba por debajo de la mitad del jarro, la corneja no pudo tomársela.