1. Medir la anchura de un río.

Sin atravesar el río a nado, medir su anchura resulta tan fácil para quien conoce la geometría, como determinar la altura de un árbol sin subirse a él. Una distancia de difícil acceso se mide mediante los métodos antes descritos, empleados para medir alturas escarpadas. En ambos casos substituimos el trayecto buscado con otra medida, de fácil cálculo.

Entre los muchos métodos para resolver este problema, estudiaremos los más sencillos.

1°. Para el primero necesitamos un “instrumento” ya conocido por nosotros, con tres alfileres colocados en los vértices de un triángulo rectángulo isósceles (Figura 25).

Necesitamos encontrar la anchura AB del río (Figura 26), estando en aquella orilla, donde se encuentra el punto B , y sin cruzar al otro lado.

Figura 25. Medición de la anchura de un río con el instrumento de alfileres

De pié sobre el punto C, mantenga el instrumento cerca de los ojos así, cuando mire con un solo ojo a través de los dos alfileres, verá como ambos tapan los puntos B y A .

Esta claro que cuando conseguimos esto, nos encontraremos en la prolongación de la línea AB. Ahora, sin mover la tablilla, mire en la dirección de los otros dos alfileres (perpendicular a la dirección anterior) y fijemos un punto D , tapado con estos dos alfileres, es decir que se encuentra sobre la recta, perpendicular a AC.

Figura 26. La primera posición del instrumento de los alfileres.

Después clavamos un jalón en el punto C, dejamos este sitio y nos movemos con el instrumento a lo largo de la recta CD, hasta que encontraremos un punto E sobre ella (Figura 27), desde donde es posible alinear el alfiler b con el jalón del punto C , y el alfiler a, con el punto A .

Esto significa que hemos encontrado el tercer vértice del triángulo ACE , sobre la orilla, donde el ángulo C es recto, el ángulo E es igual al ángulo agudo del instrumento de alfileres, es decir ½ del ángulo recto. Resulta evidente que C es un ángulo recto, entonces:

AC = CE.

Si medimos la distancia CE a través de los pasos, encontraremos la distancia AC, y quitando BC, que también es fácil de medir, encontraremos la anchura buscada del río.

Figura 27. La segunda posición del instrumento de los alfileres.

Dado que es bastante agotador y difícil sostener con la mano el instrumento sin moverlo; mejor resulta fijar la tablilla sobre un palo con punta para mantenerla verticalmente sobre la tierra.

Figura 28. Utilizando las propiedades de igualdad a los triángulos.

2°. El segundo método es parecido al primero. Aquí también se encuentra un punto C en dirección AB y se marca con ayuda del instrumento de alfileres la línea recta CD que forma un ángulo recto con CA. Pero después se actúa de otra manera (Figura 28). Sobre la línea recta CD se medirán dos distancias arbitrariamente iguales CE y EF y marcamos los puntos E y F con sendos jalones.

Después de colocar el instrumento en el punto F, marcamos la dirección FG, perpendicular a FC . Ahora nos desplazamos a lo largo de la línea FG, buscando el punto H , desde el cual el jalón E parece tapar al punto A. Esto significa, que los puntos H, E y A encuentran en línea recta.

El problema está resuelto: la distancia FH es igual a la distancia AC, a la cual basta quitarle BC, para encontrar la anchura buscada del río (deduzcan los lectores, por que FH es igual a AC ).

Figura 29. Utilizando las propiedades de semejanza a los triángulos.

Este método necesita más espacio que el anterior; si el sitio permite realizar la medición de ambas maneras, vale la pena comprobar un resultado con el otro.

3°. El método ahora descrito, es una modificación del anterior: medimos sobre la línea CF distancias diferentes, donde una es determinado número de veces menor que la otra.

Por ejemplo (Figura 29), hacemos FE cuatro veces menor que EC, luego procedemos igual que antes: moviéndonos en dirección FG, perpendicular a FC, buscamos el punto A. Pero ahora FH no es igual a AC, es la cuarta parte de esta distancia: el triángulo ACE y EFH no son iguales, son semejantes (tienen ángulos iguales y lados diferentes). De la semejanza de los triángulos tenemos la proporción

AC : FH = CE: EF = 4: 1.

Finalmente, midiendo FH y multiplicando el resultado por 4, obtenemos la distancia AC, y quitando BC, encontraremos la anchura buscada del río.

Este método, como podemos comparar, no necesita mucho espacio y por eso resulta fácil de llevar a la práctica.

4.- El cuarto método básicamente utiliza las propiedades del triángulo rectángulo, cuando uno de los ángulos agudos es 30°, entonces el cateto opuesto a dicho ángulo equivale a la mitad de la hipotenusa.

Figura 30. Cuando el cateto es igual a la mitad de la hipotenusa

Fácil resulta verificar la validez de lo antedicho: si el ángulo B del triángulo rectángulo ABC (lado izquierdo de la Figura 30) es 30°; demostraremos que en este caso que:

AC = ½ AB.

Hacemos girar el triángulo ABC sobre BC, quedando simétricamente ubicado con respecto a su posición anterior (lado derecho de la Figura 30), formando la figura ABD; la línea ACD es recta, porque ambos ángulos en el punto C, son rectos.

En el triángulo ABD el ángulo A = 60°, el ángulo ABD, al estar formado por dos ángulos de 30° , también es de 60°.

Entonces, AD = BD pues los dos lados están situados frente a ángulos iguales. Pero AC = ½ AD ; es decir, AC = ½ AB .

Para aprovechar esta característica del triángulo, necesitamos colocar los alfileres de la tablilla formando un triángulo rectángulo, donde un cateto sea la mitad de la hipotenusa.

Nos ubicamos con este instrumento en un punto C (Figura 31) de modo tal que la recta AC coincida con la hipotenusa del triángulo de alfileres.

Mirando a lo largo del cateto menor de este triángulo, marcamos la dirección CD sobre la cual encontraremos un punto E, en el cual EA sea perpendicular a CD (lo ubicamos con ayuda del mismo instrumento de alfileres). Es fácil de comprender, que la distancia CE, del cateto opuesto al ángulo de 30°, es igual a la mitad de AC. Entonces midiendo CE, duplicando esta distancia y restándole BC, tenemos la anchura buscada AB del río.

Figura 31. Esquema del uso el triángulo rectángulo con un ángulo de 30°

Estos son los cuatro métodos de fáciles empleo, con ayuda de los cuales siempre es posible, sin atravesar el río, medir la anchura del mismo con precisión plenamente aceptable. No vamos a examinar los métodos difíciles, que necesitan instrumentos especiales para hacer las mediciones.