Esta propiedad se refiere a que el cuadrado encierra la mayor superficie posible en comparación con otros rectángulos de igual perímetro. Haremos una demostración concreta de esta propiedad.

Llamemos P al perímetro de la figura rectangular. Si el cuadrado tiene el mismo perímetro P , entonces cada uno de sus lados mide P /4.

Demostremos, que si acortamos dos lados opuestos una cantidad b y prolongamos igual cantidad los otros dos, obtenemos un rectángulo de igual perímetro, pero con menor área. Dicho de otra manera, demostraremos, que la superficie del cuadrado:

es mayor que la superficie del rectángulo:

O sea que, asumimos que:

Como el miembro derecho de esa desigualdad es:

La desigualdad se transforma en:

De donde se obtiene:

0› - b ² ó

b ² › 0.

La última desigualdad es evidente: El cuadrado de cualquier cantidad, negativa o positiva, es mayor que 0. Por lo tanto, es correcta la suposición hecha al comienzo, y que nos condujo hasta aquí.

O sea, el cuadrado tiene la mayor superficie de todos rectángulos con idéntico perímetro.

De aquí se deduce, además, que entre todas las figuras rectangulares con igual área, el cuadrado tiene el menor perímetro. Podemos verificarlo mediante el siguiente razonamiento. Supongamos, que esto no es cierto y que existe un rectángulo A , con idéntica superficie al cuadrado B y con menor perímetro que el cuadrado. Tracemos ahora un cuadrado C con igual perímetro que el rectángulo A ; obtenemos así un cuadrado de mayor superficie que A y, por lo tanto, mayor que el cuadrado B . ¿Qué tenemos entonces? Que el cuadrado C tiene el perímetro menor que el cuadrado B , pero su superficie es mayor que la de dicho cuadrado B . Naturalmente, esto es imposible: Como el lado del cuadrado C es menor, que el lado del cuadrado B , entonces su superficie tiene que ser menor. Por lo tanto, no es posible que exista un rectángulo A , el que con la misma área tenga su perímetro menor que el cuadrado. Dicho de otra manera, de todos los rectángulos con igual área, el menor perímetro lo tiene el cuadrado.

Si Pajom hubiera conocido esta propiedad del cuadrado le hubiera resultado de gran ayuda, para poder calcular sus fuerzas y conseguir un terreno rectangular con la mayor superficie posible.

Sabiendo, que podía recorrer durante todo el día, sin ningún esfuerzo, digamos que unas 36 verstas, podría recorrer los lados de un cuadrado de 9 verstas de lado, y al atardecer sería propietario de un terreno de 81 verstas cuadradas, - de 3 verstas cuadradas más que el que había conseguido con un mal final. Y, recíprocamente, si hubiera definido el límite de la superficie rectangular de un terreno, por ejemplo, de 36 verstas cuadradas, podría lograr el resultado con mínimo esfuerzo, caminando sobre los lados del cuadrado, de 6 verstas de lado.