4. El lanzamiento de la aguja

Un método original y aleatorio para calcular π es el siguiente. Se toma una aguja corta (de unos dos centímetros), preferiblemente sin punta, para que tenga el mismo espesor, se trazan sobre un papel un par de líneas paralelas, separadas entre sí una distancia igual al doble de la longitud de la aguja. Luego se arroja la aguja desde una altura arbitraria sobre el papel y se marca, si cruza o no una de las líneas (figura 123, a la izquierda). Para que la aguja no rebote, se pone debajo, un papel secante o un paño. Se repite el lanzamiento muchas veces, por ejemplo cien o mejor aún, mil veces, marcando cada vez el sitio de intersección. Luego se divide la cantidad total de lanzamientos entre el número de aciertos, o sea los casos en los que la aguja cae sobre una de las rayas, el resultado será él valor aproximado del número π.

Figura 123. Lanzamiento de aguja. Experimento de Bufon

Veamos la validez del resultado obtenido. Llamemos K a la probabilidad de intersección y asumamos que la aguja tiene 20 mm de longitud.

Entonces el número probable de intersecciones de cada milímetro de la aguja es de K /20. Si la aguja mide 3 mm de largo, el número probable de intersecciones de cada milímetro será de 3 K /20. Si la aguja tiene 11 mm de largo, el número probable de intersecciones de cada milímetro será de 11 K /20, y así sucesivamente.

En conclusión, el número probable de intersecciones es directamente proporcional a la longitud de la aguja.

Esta proporcionalidad es válida aún en el caso de que la aguja sea curva. Tomemos, por ejemplo, una aguja con la forma mostrada en la figura II (figura 123, a la derecha), en la que AB = 11 mm y BC = 9 mm.

Para la parte AB, el número probable de intersecciones es 11 K /20, y para BC, es 9 K /20 y para la aguja completa será 11 K /20 + 9 K /20, es decir, que al igual que antes, es equivalente a K . Podemos doblar la aguja de una manera todavía más ingeniosa (la figura III, figura 123), y no varía el número de intersecciones.

(Debemos tener en cuenta, que si tenemos una aguja doblada se nos pueden presentar dos o más intersecciones al mismo tiempo; por esta razón debemos calcular esas intersecciones como 2, 3, etc., puesto que se hacen los cálculos para la primera intersección, los cálculos para la segunda, y así sucesivamente.)

Imaginemos ahora, que estamos lanzando una aguja de forma circular, cuyo diámetro equivale a la distancia entre las dos líneas trazadas anteriormente (más del doble de la longitud de nuestra aguja). Este anillo debe cruzar cada vez alguna línea (o puede caer tangente a ambas líneas, en todo caso, siempre tendremos dos intersecciones). Si la cantidad total de lanzamientos es N , el número de intersecciones será 2N . Nuestra aguja recta es tantas veces menor que este anillo, cuantas veces el radio es menor que la longitud de circunferencia, es decir, 2 π veces. Pero ya hemos establecido, que el número probable de intersecciones es proporcional a la longitud de aguja. Por eso el número probable de las intersecciones, K , de nuestra aguja, tiene que ser menor que 2 N , 2 π veces, es decir, que equivale a:

Cuanto mayor sea la cantidad de lanzamientos, más exacto será el valor de π. Un astrónomo suizo, R. Volf, en siglo XIX, efectuó 5000 lanzamientos de la aguja sobre el papel con las líneas y obtuvo el valor de π = 3,159… esta expresión presenta menor exactitud que el número de Arquímedes.

Como vemos, acá se encuentra la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro mediante un método práctico y curioso, sin tener que dibujar el círculo ni el diámetro, es decir, que no hace falta el compás. Una persona que no tenga la más mínima idea sobre la geometría o sobre el círculo, podrá encontrar el valor del número π, si realiza pacientemente gran cantidad de lanzamientos con la aguja.